Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107870 / 100004
↖ ↑ ↗
← S 68.305966°
E116.273804°		 ← 112.90 m → S 68.305966°
E116.276551°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
S 68.306981°
E116.273804°		 ← 112.90 m →
12 738 m²		 S 68.306981°
E116.276551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822986602783203 y=0.762973785400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822986602783203 × 217)
    floor (0.822986602783203 × 131072)
    floor (107870.5)     		tx = 107870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762973785400391 × 217)
    floor (0.762973785400391 × 131072)
    floor (100004.5)     		ty = 100004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107870 / 100004 ti = "17/107870/100004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107870/100004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107870 ÷ 217
    107870 ÷ 131072     		x = 0.822982788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100004 ÷ 217
    100004 ÷ 131072     		y = 0.762969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822982788085938 × 2 - 1) × π
    0.645965576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02936071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762969970703125 × 2 - 1) × π
    -0.52593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6522890561041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02936071} λ = 2.02936071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6522890561041))-π/2
    2×atan(0.19161079837087)-π/2
    2×0.189316160782448-π/2
    0.378632321564897-1.57079632675     		φ = -1.19216401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02936071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.273804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19216401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.305966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107870 KachelY 100004 2.02936071 -1.19216401 116.273804 -68.305966
    Oben rechts KachelX + 1 107871 KachelY 100004 2.02940865 -1.19216401 116.276551 -68.305966
    Unten links KachelX 107870 KachelY + 1 100005 2.02936071 -1.19218172 116.273804 -68.306981
    Unten rechts KachelX + 1 107871 KachelY + 1 100005 2.02940865 -1.19218172 116.276551 -68.306981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19216401--1.19218172) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dl = 112.83041000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19216401--1.19218172) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dr = 112.83041000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02936071-2.02940865) × cos(-1.19216401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369650003869752 × 6371000     		do = 112.900625972848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02936071-2.02940865) × cos(-1.19218172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369633548192159 × 6371000     		du = 112.895599985342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19216401)-sin(-1.19218172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369650003869752-0.369633548192159)×R²
    abs(2.02940865-2.02936071)×1.64556775925639e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64556775925639e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64556775925639e-05×40589641000000     		ar = 12738.3403760921m²