Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107869 / 42170
↖ ↑ ↗
← N 53.862246°
E116.271057°		 ← 180.12 m → N 53.862246°
E116.273804°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
N 53.860627°
E116.271057°		 ← 180.13 m →
32 441 m²		 N 53.860627°
E116.273804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822978973388672 y=0.321735382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822978973388672 × 217)
    floor (0.822978973388672 × 131072)
    floor (107869.5)     		tx = 107869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321735382080078 × 217)
    floor (0.321735382080078 × 131072)
    floor (42170.5)     		ty = 42170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107869 / 42170 ti = "17/107869/42170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107869/42170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107869 ÷ 217
    107869 ÷ 131072     		x = 0.822975158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42170 ÷ 217
    42170 ÷ 131072     		y = 0.321731567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822975158691406 × 2 - 1) × π
    0.645950317382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.02931277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321731567382812 × 2 - 1) × π
    0.356536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12009359652223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02931277} λ = 2.02931277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12009359652223))-π/2
    2×atan(3.06514107641253)-π/2
    2×1.25543493237356-π/2
    2.51086986474712-1.57079632675     		φ = 0.94007354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02931277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.271057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94007354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.862246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107869 KachelY 42170 2.02931277 0.94007354 116.271057 53.862246
    Oben rechts KachelX + 1 107870 KachelY 42170 2.02936071 0.94007354 116.273804 53.862246
    Unten links KachelX 107869 KachelY + 1 42171 2.02931277 0.94004527 116.271057 53.860627
    Unten rechts KachelX + 1 107870 KachelY + 1 42171 2.02936071 0.94004527 116.273804 53.860627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94007354-0.94004527) × R
    2.82699999999414e-05 × 6371000     		dl = 180.108169999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94007354-0.94004527) × R
    2.82699999999414e-05 × 6371000     		dr = 180.108169999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02931277-2.02936071) × cos(0.94007354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589728635613622 × 6371000     		do = 180.118304931363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02931277-2.02936071) × cos(0.94004527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589751466271558 × 6371000     		du = 180.125278001957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94007354)-sin(0.94004527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589728635613622-0.589751466271558)×R²
    abs(2.02936071-2.02931277)×2.283065793518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.283065793518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.283065793518e-05×40589641000000     		ar = 32441.4062402707m²