Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107869 / 41699
↖ ↑ ↗
← N 54.618207°
E116.271057°		 ← 176.85 m → N 54.618207°
E116.273804°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
N 54.616617°
E116.271057°		 ← 176.86 m →
31 278 m²		 N 54.616617°
E116.273804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822978973388672 y=0.318141937255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822978973388672 × 217)
    floor (0.822978973388672 × 131072)
    floor (107869.5)     		tx = 107869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318141937255859 × 217)
    floor (0.318141937255859 × 131072)
    floor (41699.5)     		ty = 41699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107869 / 41699 ti = "17/107869/41699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107869/41699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107869 ÷ 217
    107869 ÷ 131072     		x = 0.822975158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41699 ÷ 217
    41699 ÷ 131072     		y = 0.318138122558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822975158691406 × 2 - 1) × π
    0.645950317382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.02931277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318138122558594 × 2 - 1) × π
    0.363723754882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.14267187624328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02931277} λ = 2.02931277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14267187624328))-π/2
    2×atan(3.1351338741249)-π/2
    2×1.26203193887164-π/2
    2.52406387774328-1.57079632675     		φ = 0.95326755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02931277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.271057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95326755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.618207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107869 KachelY 41699 2.02931277 0.95326755 116.271057 54.618207
    Oben rechts KachelX + 1 107870 KachelY 41699 2.02936071 0.95326755 116.273804 54.618207
    Unten links KachelX 107869 KachelY + 1 41700 2.02931277 0.95323979 116.271057 54.616617
    Unten rechts KachelX + 1 107870 KachelY + 1 41700 2.02936071 0.95323979 116.273804 54.616617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95326755-0.95323979) × R
    2.77599999999323e-05 × 6371000     		dl = 176.858959999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95326755-0.95323979) × R
    2.77599999999323e-05 × 6371000     		dr = 176.858959999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02931277-2.02936071) × cos(0.95326755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579022113082462 × 6371000     		do = 176.848257364459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02931277-2.02936071) × cos(0.95323979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579044745915969 × 6371000     		du = 176.855170014381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95326755)-sin(0.95323979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579022113082462-0.579044745915969)×R²
    abs(2.02936071-2.02931277)×2.26328335070081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26328335070081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26328335070081e-05×40589641000000     		ar = 31277.8101591788m²