Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107868 / 42173
↖ ↑ ↗
← N 53.857386°
E116.268310°		 ← 180.14 m → N 53.857386°
E116.271057°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
N 53.855767°
E116.268310°		 ← 180.15 m →
32 445 m²		 N 53.855767°
E116.271057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822971343994141 y=0.321758270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822971343994141 × 217)
    floor (0.822971343994141 × 131072)
    floor (107868.5)     		tx = 107868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321758270263672 × 217)
    floor (0.321758270263672 × 131072)
    floor (42173.5)     		ty = 42173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107868 / 42173 ti = "17/107868/42173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107868/42173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107868 ÷ 217
    107868 ÷ 131072     		x = 0.822967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42173 ÷ 217
    42173 ÷ 131072     		y = 0.321754455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822967529296875 × 2 - 1) × π
    0.64593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02926483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321754455566406 × 2 - 1) × π
    0.356491088867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.11994978582337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02926483} λ = 2.02926483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11994978582337))-π/2
    2×atan(3.06470030802659)-π/2
    2×1.25539252526731-π/2
    2.51078505053462-1.57079632675     		φ = 0.93998872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02926483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.268310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93998872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.857386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107868 KachelY 42173 2.02926483 0.93998872 116.268310 53.857386
    Oben rechts KachelX + 1 107869 KachelY 42173 2.02931277 0.93998872 116.271057 53.857386
    Unten links KachelX 107868 KachelY + 1 42174 2.02926483 0.93996045 116.268310 53.855767
    Unten rechts KachelX + 1 107869 KachelY + 1 42174 2.02931277 0.93996045 116.271057 53.855767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93998872-0.93996045) × R
    2.82700000000524e-05 × 6371000     		dl = 180.108170000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93998872-0.93996045) × R
    2.82700000000524e-05 × 6371000     		dr = 180.108170000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02926483-2.02931277) × cos(0.93998872) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.589797134248949 × 6371000     		do = 180.139226179415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02926483-2.02931277) × cos(0.93996045) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.589819963492687 × 6371000     		du = 180.146198818078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93998872)-sin(0.93996045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589797134248949-0.589819963492687)×R²
    abs(2.02931277-2.02926483)×2.28292437383093e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.28292437383093e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.28292437383093e-05×40589641000000     		ar = 32445.1742893383m²