Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107865 / 100233
↖ ↑ ↗
← S 68.537281°
E116.260071°		 ← 111.75 m → S 68.537281°
E116.262817°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
S 68.538286°
E116.260071°		 ← 111.75 m →
12 488 m²		 S 68.538286°
E116.262817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822948455810547 y=0.764720916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822948455810547 × 217)
    floor (0.822948455810547 × 131072)
    floor (107865.5)     		tx = 107865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764720916748047 × 217)
    floor (0.764720916748047 × 131072)
    floor (100233.5)     		ty = 100233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107865 / 100233 ti = "17/107865/100233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107865/100233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107865 ÷ 217
    107865 ÷ 131072     		x = 0.822944641113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100233 ÷ 217
    100233 ÷ 131072     		y = 0.764717102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822944641113281 × 2 - 1) × π
    0.645889282226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02912102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764717102050781 × 2 - 1) × π
    -0.529434204101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.66326660611709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02912102} λ = 2.02912102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66326660611709))-π/2
    2×atan(0.189518884301796)-π/2
    2×0.187297553004521-π/2
    0.374595106009042-1.57079632675     		φ = -1.19620122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02912102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.260071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19620122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.537281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107865 KachelY 100233 2.02912102 -1.19620122 116.260071 -68.537281
    Oben rechts KachelX + 1 107866 KachelY 100233 2.02916896 -1.19620122 116.262817 -68.537281
    Unten links KachelX 107865 KachelY + 1 100234 2.02912102 -1.19621876 116.260071 -68.538286
    Unten rechts KachelX + 1 107866 KachelY + 1 100234 2.02916896 -1.19621876 116.262817 -68.538286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19620122--1.19621876) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dl = 111.747339999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19620122--1.19621876) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dr = 111.747339999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02912102-2.02916896) × cos(-1.19620122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365895742859847 × 6371000     		do = 111.753978025745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02912102-2.02916896) × cos(-1.19621876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365879419100009 × 6371000     		du = 111.748992329317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19620122)-sin(-1.19621876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365895742859847-0.365879419100009)×R²
    abs(2.02916896-2.02912102)×1.63237598378441e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63237598378441e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63237598378441e-05×40589641000000     		ar = 12487.9312099641m²