Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107864 / 42087
↖ ↑ ↗
← N 53.996469°
E116.257324°		 ← 179.50 m → N 53.996469°
E116.260071°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
N 53.994854°
E116.257324°		 ← 179.51 m →
32 228 m²		 N 53.994854°
E116.260071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822940826416016 y=0.321102142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822940826416016 × 217)
    floor (0.822940826416016 × 131072)
    floor (107864.5)     		tx = 107864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321102142333984 × 217)
    floor (0.321102142333984 × 131072)
    floor (42087.5)     		ty = 42087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107864 / 42087 ti = "17/107864/42087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107864/42087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107864 ÷ 217
    107864 ÷ 131072     		x = 0.82293701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42087 ÷ 217
    42087 ÷ 131072     		y = 0.321098327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82293701171875 × 2 - 1) × π
    0.6458740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02907309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321098327636719 × 2 - 1) × π
    0.357803344726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.1240723591907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02907309} λ = 2.02907309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1240723591907))-π/2
    2×atan(3.07736083894798)-π/2
    2×1.25660624357453-π/2
    2.51321248714905-1.57079632675     		φ = 0.94241616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02907309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.257324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94241616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.996469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107864 KachelY 42087 2.02907309 0.94241616 116.257324 53.996469
    Oben rechts KachelX + 1 107865 KachelY 42087 2.02912102 0.94241616 116.260071 53.996469
    Unten links KachelX 107864 KachelY + 1 42088 2.02907309 0.94238798 116.257324 53.994854
    Unten rechts KachelX + 1 107865 KachelY + 1 42088 2.02912102 0.94238798 116.260071 53.994854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94241616-0.94238798) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dl = 179.534779999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94241616-0.94238798) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dr = 179.534779999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02907309-2.02912102) × cos(0.94241616) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587835115809651 × 6371000     		do = 179.50252426903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02907309-2.02912102) × cos(0.94238798) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587857912654176 × 6371000     		du = 179.509485559752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94241616)-sin(0.94238798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587835115809651-0.587857912654176)×R²
    abs(2.02912102-2.02907309)×2.2796844524553e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2796844524553e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2796844524553e-05×40589641000000     		ar = 32227.5711028739m²