Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107864 / 100232
↖ ↑ ↗
← S 68.536276°
E116.257324°		 ← 111.74 m → S 68.536276°
E116.260071°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
S 68.537281°
E116.257324°		 ← 111.73 m →
12 486 m²		 S 68.537281°
E116.260071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822940826416016 y=0.764713287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822940826416016 × 217)
    floor (0.822940826416016 × 131072)
    floor (107864.5)     		tx = 107864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764713287353516 × 217)
    floor (0.764713287353516 × 131072)
    floor (100232.5)     		ty = 100232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107864 / 100232 ti = "17/107864/100232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107864/100232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107864 ÷ 217
    107864 ÷ 131072     		x = 0.82293701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100232 ÷ 217
    100232 ÷ 131072     		y = 0.76470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82293701171875 × 2 - 1) × π
    0.6458740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02907309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.5294189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66321866921747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02907309} λ = 2.02907309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66321866921747))-π/2
    2×atan(0.189527969467284)-π/2
    2×0.18730632315388-π/2
    0.374612646307761-1.57079632675     		φ = -1.19618368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02907309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.257324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19618368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.536276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107864 KachelY 100232 2.02907309 -1.19618368 116.257324 -68.536276
    Oben rechts KachelX + 1 107865 KachelY 100232 2.02912102 -1.19618368 116.260071 -68.536276
    Unten links KachelX 107864 KachelY + 1 100233 2.02907309 -1.19620122 116.257324 -68.537281
    Unten rechts KachelX + 1 107865 KachelY + 1 100233 2.02912102 -1.19620122 116.260071 -68.537281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19618368--1.19620122) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dl = 111.747339999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19618368--1.19620122) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dr = 111.747339999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02907309-2.02912102) × cos(-1.19618368) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365912066507116 × 6371000     		do = 111.735651430176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02907309-2.02912102) × cos(-1.19620122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365895742859847 × 6371000     		du = 111.730666808109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19618368)-sin(-1.19620122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365912066507116-0.365895742859847)×R²
    abs(2.02912102-2.02907309)×1.63236472695005e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63236472695005e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63236472695005e-05×40589641000000     		ar = 12485.883321661m²