Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107863 / 42168
↖ ↑ ↗
← N 53.865486°
E116.254578°		 ← 180.10 m → N 53.865486°
E116.257324°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
N 53.863866°
E116.254578°		 ← 180.11 m →
32 439 m²		 N 53.863866°
E116.257324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822933197021484 y=0.321720123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822933197021484 × 217)
    floor (0.822933197021484 × 131072)
    floor (107863.5)     		tx = 107863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321720123291016 × 217)
    floor (0.321720123291016 × 131072)
    floor (42168.5)     		ty = 42168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107863 / 42168 ti = "17/107863/42168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107863/42168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107863 ÷ 217
    107863 ÷ 131072     		x = 0.822929382324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42168 ÷ 217
    42168 ÷ 131072     		y = 0.32171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822929382324219 × 2 - 1) × π
    0.645858764648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.02902515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32171630859375 × 2 - 1) × π
    0.3565673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12018947032147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02902515} λ = 2.02902515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12018947032147))-π/2
    2×atan(3.06543495722024)-π/2
    2×1.25546320104163-π/2
    2.51092640208326-1.57079632675     		φ = 0.94013008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02902515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.254578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94013008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.865486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107863 KachelY 42168 2.02902515 0.94013008 116.254578 53.865486
    Oben rechts KachelX + 1 107864 KachelY 42168 2.02907309 0.94013008 116.257324 53.865486
    Unten links KachelX 107863 KachelY + 1 42169 2.02902515 0.94010181 116.254578 53.863866
    Unten rechts KachelX + 1 107864 KachelY + 1 42169 2.02907309 0.94010181 116.257324 53.863866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94013008-0.94010181) × R
    2.82699999999414e-05 × 6371000     		dl = 180.108169999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94013008-0.94010181) × R
    2.82699999999414e-05 × 6371000     		dr = 180.108169999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02902515-2.02907309) × cos(0.94013008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589682972883849 × 6371000     		do = 180.104358358331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02902515-2.02907309) × cos(0.94010181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58970580448438 × 6371000     		du = 180.111331716819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94013008)-sin(0.94010181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589682972883849-0.58970580448438)×R²
    abs(2.02907309-2.02902515)×2.28316005308482e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28316005308482e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28316005308482e-05×40589641000000     		ar = 32438.8943743942m²