Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107861 / 42085
↖ ↑ ↗
← N 53.999698°
E116.249085°		 ← 179.49 m → N 53.999698°
E116.251831°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
N 53.998083°
E116.249085°		 ← 179.50 m →
32 225 m²		 N 53.998083°
E116.251831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822917938232422 y=0.321086883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822917938232422 × 217)
    floor (0.822917938232422 × 131072)
    floor (107861.5)     		tx = 107861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321086883544922 × 217)
    floor (0.321086883544922 × 131072)
    floor (42085.5)     		ty = 42085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107861 / 42085 ti = "17/107861/42085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107861/42085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107861 ÷ 217
    107861 ÷ 131072     		x = 0.822914123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42085 ÷ 217
    42085 ÷ 131072     		y = 0.321083068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822914123535156 × 2 - 1) × π
    0.645828247070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.02892928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321083068847656 × 2 - 1) × π
    0.357833862304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.12416823298994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02892928} λ = 2.02892928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12416823298994))-π/2
    2×atan(3.07765589136691)-π/2
    2×1.25663442147468-π/2
    2.51326884294937-1.57079632675     		φ = 0.94247252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02892928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.249085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94247252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.999698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107861 KachelY 42085 2.02892928 0.94247252 116.249085 53.999698
    Oben rechts KachelX + 1 107862 KachelY 42085 2.02897721 0.94247252 116.251831 53.999698
    Unten links KachelX 107861 KachelY + 1 42086 2.02892928 0.94244434 116.249085 53.998083
    Unten rechts KachelX + 1 107862 KachelY + 1 42086 2.02897721 0.94244434 116.251831 53.998083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94247252-0.94244434) × R
    2.81800000000443e-05 × 6371000     		dl = 179.534780000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94247252-0.94244434) × R
    2.81800000000443e-05 × 6371000     		dr = 179.534780000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02892928-2.02897721) × cos(0.94247252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587789520720198 × 6371000     		do = 179.488601259957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02892928-2.02897721) × cos(0.94244434) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.587812318498319 × 6371000     		du = 179.495562835763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94247252)-sin(0.94244434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587789520720198-0.587812318498319)×R²
    abs(2.02897721-2.02892928)×2.27977781209754e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.27977781209754e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.27977781209754e-05×40589641000000     		ar = 32225.0714643549m²