Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107861 / 41716
↖ ↑ ↗
← N 54.591163°
E116.249085°		 ← 176.93 m → N 54.591163°
E116.251831°		 →
↑
176.92 m
↓
↑
176.92 m
↓
N 54.589572°
E116.249085°		 ← 176.94 m →
31 303 m²		 N 54.589572°
E116.251831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822917938232422 y=0.318271636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822917938232422 × 217)
    floor (0.822917938232422 × 131072)
    floor (107861.5)     		tx = 107861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318271636962891 × 217)
    floor (0.318271636962891 × 131072)
    floor (41716.5)     		ty = 41716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107861 / 41716 ti = "17/107861/41716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107861/41716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107861 ÷ 217
    107861 ÷ 131072     		x = 0.822914123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41716 ÷ 217
    41716 ÷ 131072     		y = 0.318267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822914123535156 × 2 - 1) × π
    0.645828247070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.02892928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318267822265625 × 2 - 1) × π
    0.36346435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14185694894974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02892928} λ = 2.02892928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14185694894974))-π/2
    2×atan(3.13258000871063)-π/2
    2×1.26179593002315-π/2
    2.52359186004631-1.57079632675     		φ = 0.95279553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02892928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.249085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95279553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.591163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107861 KachelY 41716 2.02892928 0.95279553 116.249085 54.591163
    Oben rechts KachelX + 1 107862 KachelY 41716 2.02897721 0.95279553 116.251831 54.591163
    Unten links KachelX 107861 KachelY + 1 41717 2.02892928 0.95276776 116.249085 54.589572
    Unten rechts KachelX + 1 107862 KachelY + 1 41717 2.02897721 0.95276776 116.251831 54.589572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95279553-0.95276776) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dl = 176.922669999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95279553-0.95276776) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dr = 176.922669999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02892928-2.02897721) × cos(0.95279553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579406892057868 × 6371000     		do = 176.92886475489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02892928-2.02897721) × cos(0.95276776) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579429525451843 × 6371000     		du = 176.93577613402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95279553)-sin(0.95276776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579406892057868-0.579429525451843)×R²
    abs(2.02897721-2.02892928)×2.26333939751244e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26333939751244e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26333939751244e-05×40589641000000     		ar = 31303.3385442974m²