Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107860 / 42084
↖ ↑ ↗
← N 54.001312°
E116.246338°		 ← 179.52 m → N 54.001312°
E116.249085°		 →
↑
179.47 m
↓
↑
179.47 m
↓
N 53.999698°
E116.246338°		 ← 179.53 m →
32 219 m²		 N 53.999698°
E116.249085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822910308837891 y=0.321079254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822910308837891 × 217)
    floor (0.822910308837891 × 131072)
    floor (107860.5)     		tx = 107860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321079254150391 × 217)
    floor (0.321079254150391 × 131072)
    floor (42084.5)     		ty = 42084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107860 / 42084 ti = "17/107860/42084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107860/42084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107860 ÷ 217
    107860 ÷ 131072     		x = 0.822906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42084 ÷ 217
    42084 ÷ 131072     		y = 0.321075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822906494140625 × 2 - 1) × π
    0.64581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02888134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321075439453125 × 2 - 1) × π
    0.35784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12421616988956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02888134} λ = 2.02888134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12421616988956))-π/2
    2×atan(3.07780342818464)-π/2
    2×1.2566485096052-π/2
    2.5132970192104-1.57079632675     		φ = 0.94250069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02888134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.246338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94250069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.001312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107860 KachelY 42084 2.02888134 0.94250069 116.246338 54.001312
    Oben rechts KachelX + 1 107861 KachelY 42084 2.02892928 0.94250069 116.249085 54.001312
    Unten links KachelX 107860 KachelY + 1 42085 2.02888134 0.94247252 116.246338 53.999698
    Unten rechts KachelX + 1 107861 KachelY + 1 42085 2.02892928 0.94247252 116.249085 53.999698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94250069-0.94247252) × R
    2.8169999999994e-05 × 6371000     		dl = 179.471069999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94250069-0.94247252) × R
    2.8169999999994e-05 × 6371000     		dr = 179.471069999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02888134-2.02892928) × cos(0.94250069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587766730565611 × 6371000     		do = 179.519088630265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02888134-2.02892928) × cos(0.94247252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587789520720198 × 6371000     		du = 179.526049330094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94250069)-sin(0.94247252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587766730565611-0.587789520720198)×R²
    abs(2.02892928-2.02888134)×2.27901545872822e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27901545872822e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27901545872822e-05×40589641000000     		ar = 32219.1075461779m²