Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107859 / 41715
↖ ↑ ↗
← N 54.592754°
E116.243591°		 ← 176.96 m → N 54.592754°
E116.246338°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
N 54.591163°
E116.243591°		 ← 176.97 m →
31 320 m²		 N 54.591163°
E116.246338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822902679443359 y=0.318264007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822902679443359 × 217)
    floor (0.822902679443359 × 131072)
    floor (107859.5)     		tx = 107859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318264007568359 × 217)
    floor (0.318264007568359 × 131072)
    floor (41715.5)     		ty = 41715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107859 / 41715 ti = "17/107859/41715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107859/41715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107859 ÷ 217
    107859 ÷ 131072     		x = 0.822898864746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41715 ÷ 217
    41715 ÷ 131072     		y = 0.318260192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822898864746094 × 2 - 1) × π
    0.645797729492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.02883340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318260192871094 × 2 - 1) × π
    0.363479614257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.14190488584936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02883340} λ = 2.02883340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14190488584936))-π/2
    2×atan(3.13273017848336)-π/2
    2×1.26180981723681-π/2
    2.52361963447362-1.57079632675     		φ = 0.95282331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02883340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.243591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95282331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.592754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107859 KachelY 41715 2.02883340 0.95282331 116.243591 54.592754
    Oben rechts KachelX + 1 107860 KachelY 41715 2.02888134 0.95282331 116.246338 54.592754
    Unten links KachelX 107859 KachelY + 1 41716 2.02883340 0.95279553 116.243591 54.591163
    Unten rechts KachelX + 1 107860 KachelY + 1 41716 2.02888134 0.95279553 116.246338 54.591163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95282331-0.95279553) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dl = 176.986380000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95282331-0.95279553) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dr = 176.986380000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02883340-2.02888134) × cos(0.95282331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579384250066525 × 6371000     		do = 176.958863320797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02883340-2.02888134) × cos(0.95279553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579406892057868 × 6371000     		du = 176.965778767759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95282331)-sin(0.95279553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579384250066525-0.579406892057868)×R²
    abs(2.02888134-2.02883340)×2.26419913433862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26419913433862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26419913433862e-05×40589641000000     		ar = 31319.9206001602m²