Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107858 / 46306
↖ ↑ ↗
← N 46.615488°
E116.240845°		 ← 209.75 m → N 46.615488°
E116.243591°		 →
↑
209.80 m
↓
↑
209.80 m
↓
N 46.613601°
E116.240845°		 ← 209.76 m →
44 006 m²		 N 46.613601°
E116.243591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822895050048828 y=0.353290557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822895050048828 × 217)
    floor (0.822895050048828 × 131072)
    floor (107858.5)     		tx = 107858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353290557861328 × 217)
    floor (0.353290557861328 × 131072)
    floor (46306.5)     		ty = 46306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107858 / 46306 ti = "17/107858/46306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107858/46306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107858 ÷ 217
    107858 ÷ 131072     		x = 0.822891235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46306 ÷ 217
    46306 ÷ 131072     		y = 0.353286743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822891235351562 × 2 - 1) × π
    0.645782470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02878547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353286743164062 × 2 - 1) × π
    0.293426513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.92182657969368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02878547} λ = 2.02878547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.92182657969368))-π/2
    2×atan(2.51387799734787)-π/2
    2×1.19219503707069-π/2
    2.38439007414138-1.57079632675     		φ = 0.81359375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02878547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.240845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81359375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.615488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107858 KachelY 46306 2.02878547 0.81359375 116.240845 46.615488
    Oben rechts KachelX + 1 107859 KachelY 46306 2.02883340 0.81359375 116.243591 46.615488
    Unten links KachelX 107858 KachelY + 1 46307 2.02878547 0.81356082 116.240845 46.613601
    Unten rechts KachelX + 1 107859 KachelY + 1 46307 2.02883340 0.81356082 116.243591 46.613601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81359375-0.81356082) × R
    3.29300000000421e-05 × 6371000     		dl = 209.797030000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81359375-0.81356082) × R
    3.29300000000421e-05 × 6371000     		dr = 209.797030000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02878547-2.02883340) × cos(0.81359375) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686891079076819 × 6371000     		do = 209.750454295917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02878547-2.02883340) × cos(0.81356082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686915010923601 × 6371000     		du = 209.757762173231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81359375)-sin(0.81356082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686891079076819-0.686915010923601)×R²
    abs(2.02883340-2.02878547)×2.39318467810667e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39318467810667e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39318467810667e-05×40589641000000     		ar = 44005.7889419033m²