Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107858 / 46290
↖ ↑ ↗
← N 46.645665°
E116.240845°		 ← 209.63 m → N 46.645665°
E116.243591°		 →
↑
209.67 m
↓
↑
209.67 m
↓
N 46.643780°
E116.240845°		 ← 209.64 m →
43 955 m²		 N 46.643780°
E116.243591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822895050048828 y=0.353168487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822895050048828 × 217)
    floor (0.822895050048828 × 131072)
    floor (107858.5)     		tx = 107858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353168487548828 × 217)
    floor (0.353168487548828 × 131072)
    floor (46290.5)     		ty = 46290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107858 / 46290 ti = "17/107858/46290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107858/46290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107858 ÷ 217
    107858 ÷ 131072     		x = 0.822891235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46290 ÷ 217
    46290 ÷ 131072     		y = 0.353164672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822891235351562 × 2 - 1) × π
    0.645782470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02878547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353164672851562 × 2 - 1) × π
    0.293670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.922593570087601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02878547} λ = 2.02878547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.922593570087601))-π/2
    2×atan(2.51580685723727)-π/2
    2×1.19245838308516-π/2
    2.38491676617032-1.57079632675     		φ = 0.81412044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02878547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.240845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81412044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.645665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107858 KachelY 46290 2.02878547 0.81412044 116.240845 46.645665
    Oben rechts KachelX + 1 107859 KachelY 46290 2.02883340 0.81412044 116.243591 46.645665
    Unten links KachelX 107858 KachelY + 1 46291 2.02878547 0.81408753 116.240845 46.643780
    Unten rechts KachelX + 1 107859 KachelY + 1 46291 2.02883340 0.81408753 116.243591 46.643780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81412044-0.81408753) × R
    3.29099999999416e-05 × 6371000     		dl = 209.669609999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81412044-0.81408753) × R
    3.29099999999416e-05 × 6371000     		dr = 209.669609999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02878547-2.02883340) × cos(0.81412044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686508206398988 × 6371000     		do = 209.633539517782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02878547-2.02883340) × cos(0.81408753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686532135614039 × 6371000     		du = 209.640846591467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81412044)-sin(0.81408753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686508206398988-0.686532135614039)×R²
    abs(2.02883340-2.02878547)×2.39292150507886e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39292150507886e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39292150507886e-05×40589641000000     		ar = 43954.5485131326m²