Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107858 / 41719
↖ ↑ ↗
← N 54.586388°
E116.240845°		 ← 176.95 m → N 54.586388°
E116.243591°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
N 54.584796°
E116.240845°		 ← 176.96 m →
31 318 m²		 N 54.584796°
E116.243591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822895050048828 y=0.318294525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822895050048828 × 217)
    floor (0.822895050048828 × 131072)
    floor (107858.5)     		tx = 107858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318294525146484 × 217)
    floor (0.318294525146484 × 131072)
    floor (41719.5)     		ty = 41719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107858 / 41719 ti = "17/107858/41719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107858/41719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107858 ÷ 217
    107858 ÷ 131072     		x = 0.822891235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41719 ÷ 217
    41719 ÷ 131072     		y = 0.318290710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822891235351562 × 2 - 1) × π
    0.645782470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02878547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318290710449219 × 2 - 1) × π
    0.363418579101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.14171313825088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02878547} λ = 2.02878547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14171313825088))-π/2
    2×atan(3.13212954258204)-π/2
    2×1.26175426512661-π/2
    2.52350853025321-1.57079632675     		φ = 0.95271220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02878547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.240845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95271220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.586388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107858 KachelY 41719 2.02878547 0.95271220 116.240845 54.586388
    Oben rechts KachelX + 1 107859 KachelY 41719 2.02883340 0.95271220 116.243591 54.586388
    Unten links KachelX 107858 KachelY + 1 41720 2.02878547 0.95268442 116.240845 54.584796
    Unten rechts KachelX + 1 107859 KachelY + 1 41720 2.02883340 0.95268442 116.243591 54.584796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95271220-0.95268442) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dl = 176.986380000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95271220-0.95268442) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dr = 176.986380000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02878547-2.02883340) × cos(0.95271220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579474807199058 × 6371000     		do = 176.949603460271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02878547-2.02883340) × cos(0.95268442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579497447401879 × 6371000     		du = 176.956516918564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95271220)-sin(0.95268442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579474807199058-0.579497447401879)×R²
    abs(2.02883340-2.02878547)×2.26402028205008e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26402028205008e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26402028205008e-05×40589641000000     		ar = 31318.2815550872m²