Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107858 / 41701
↖ ↑ ↗
← N 54.615027°
E116.240845°		 ← 176.83 m → N 54.615027°
E116.243591°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
N 54.613436°
E116.240845°		 ← 176.83 m →
31 274 m²		 N 54.613436°
E116.243591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822895050048828 y=0.318157196044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822895050048828 × 217)
    floor (0.822895050048828 × 131072)
    floor (107858.5)     		tx = 107858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318157196044922 × 217)
    floor (0.318157196044922 × 131072)
    floor (41701.5)     		ty = 41701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107858 / 41701 ti = "17/107858/41701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107858/41701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107858 ÷ 217
    107858 ÷ 131072     		x = 0.822891235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41701 ÷ 217
    41701 ÷ 131072     		y = 0.318153381347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822891235351562 × 2 - 1) × π
    0.645782470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02878547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318153381347656 × 2 - 1) × π
    0.363693237304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.14257600244404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02878547} λ = 2.02878547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14257600244404))-π/2
    2×atan(3.13483331133754)-π/2
    2×1.26200418126193-π/2
    2.52400836252385-1.57079632675     		φ = 0.95321204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02878547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.240845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95321204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.615027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107858 KachelY 41701 2.02878547 0.95321204 116.240845 54.615027
    Oben rechts KachelX + 1 107859 KachelY 41701 2.02883340 0.95321204 116.243591 54.615027
    Unten links KachelX 107858 KachelY + 1 41702 2.02878547 0.95318428 116.240845 54.613436
    Unten rechts KachelX + 1 107859 KachelY + 1 41702 2.02883340 0.95318428 116.243591 54.613436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95321204-0.95318428) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dl = 176.858960000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95321204-0.95318428) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dr = 176.858960000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02878547-2.02883340) × cos(0.95321204) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579067370150457 × 6371000     		do = 176.825187656013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02878547-2.02883340) × cos(0.95318428) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579090002091664 × 6371000     		du = 176.832098591523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95321204)-sin(0.95318428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579067370150457-0.579090002091664)×R²
    abs(2.02883340-2.02878547)×2.26319412063303e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26319412063303e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26319412063303e-05×40589641000000     		ar = 31273.7299231473m²