Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107856 / 43132
↖ ↑ ↗
← N 52.274880°
E116.235351°		 ← 186.88 m → N 52.274880°
E116.238098°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
N 52.273199°
E116.235351°		 ← 186.89 m →
34 922 m²		 N 52.273199°
E116.238098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822879791259766 y=0.329074859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822879791259766 × 217)
    floor (0.822879791259766 × 131072)
    floor (107856.5)     		tx = 107856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329074859619141 × 217)
    floor (0.329074859619141 × 131072)
    floor (43132.5)     		ty = 43132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107856 / 43132 ti = "17/107856/43132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107856/43132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107856 ÷ 217
    107856 ÷ 131072     		x = 0.8228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43132 ÷ 217
    43132 ÷ 131072     		y = 0.329071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8228759765625 × 2 - 1) × π
    0.645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02868959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329071044921875 × 2 - 1) × π
    0.34185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07397829908774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02868959} λ = 2.02868959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07397829908774))-π/2
    2×atan(2.9270008528635)-π/2
    2×1.24158255057093-π/2
    2.48316510114185-1.57079632675     		φ = 0.91236877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02868959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.235351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91236877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.274880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107856 KachelY 43132 2.02868959 0.91236877 116.235351 52.274880
    Oben rechts KachelX + 1 107857 KachelY 43132 2.02873753 0.91236877 116.238098 52.274880
    Unten links KachelX 107856 KachelY + 1 43133 2.02868959 0.91233944 116.235351 52.273199
    Unten rechts KachelX + 1 107857 KachelY + 1 43133 2.02873753 0.91233944 116.238098 52.273199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91236877-0.91233944) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dl = 186.861430000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91236877-0.91233944) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dr = 186.861430000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02868959-2.02873753) × cos(0.91236877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611873876579493 × 6371000     		do = 186.882031540838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02868959-2.02873753) × cos(0.91233944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611897075036603 × 6371000     		du = 186.889116946767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91236877)-sin(0.91233944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611873876579493-0.611897075036603)×R²
    abs(2.02873753-2.02868959)×2.31984571091859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31984571091859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31984571091859e-05×40589641000000     		ar = 34921.705652069m²