Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107856 / 41717
↖ ↑ ↗
← N 54.589572°
E116.235351°		 ← 176.97 m → N 54.589572°
E116.238098°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
N 54.587980°
E116.235351°		 ← 176.98 m →
31 322 m²		 N 54.587980°
E116.238098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822879791259766 y=0.318279266357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822879791259766 × 217)
    floor (0.822879791259766 × 131072)
    floor (107856.5)     		tx = 107856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318279266357422 × 217)
    floor (0.318279266357422 × 131072)
    floor (41717.5)     		ty = 41717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107856 / 41717 ti = "17/107856/41717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107856/41717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107856 ÷ 217
    107856 ÷ 131072     		x = 0.8228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41717 ÷ 217
    41717 ÷ 131072     		y = 0.318275451660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8228759765625 × 2 - 1) × π
    0.645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02868959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318275451660156 × 2 - 1) × π
    0.363449096679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.14180901205012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02868959} λ = 2.02868959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14180901205012))-π/2
    2×atan(3.13242984613639)-π/2
    2×1.26178204226691-π/2
    2.52356408453382-1.57079632675     		φ = 0.95276776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02868959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.235351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95276776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.589572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107856 KachelY 41717 2.02868959 0.95276776 116.235351 54.589572
    Oben rechts KachelX + 1 107857 KachelY 41717 2.02873753 0.95276776 116.238098 54.589572
    Unten links KachelX 107856 KachelY + 1 41718 2.02868959 0.95273998 116.235351 54.587980
    Unten rechts KachelX + 1 107857 KachelY + 1 41718 2.02873753 0.95273998 116.238098 54.587980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95276776-0.95273998) × R
    2.77799999999218e-05 × 6371000     		dl = 176.986379999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95276776-0.95273998) × R
    2.77799999999218e-05 × 6371000     		dr = 176.986379999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02868959-2.02873753) × cos(0.95276776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579429525451843 × 6371000     		do = 176.972691588862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02868959-2.02873753) × cos(0.95273998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579452166549041 × 6371000     		du = 176.979606762728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95276776)-sin(0.95273998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579429525451843-0.579452166549041)×R²
    abs(2.02873753-2.02868959)×2.26410971971847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26410971971847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26410971971847e-05×40589641000000     		ar = 31322.3679909192m²