Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107855 / 42156
↖ ↑ ↗
← N 53.884916°
E116.232605°		 ← 179.98 m → N 53.884916°
E116.235351°		 →
↑
180.04 m
↓
↑
180.04 m
↓
N 53.883297°
E116.232605°		 ← 179.99 m →
32 406 m²		 N 53.883297°
E116.235351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822872161865234 y=0.321628570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822872161865234 × 217)
    floor (0.822872161865234 × 131072)
    floor (107855.5)     		tx = 107855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321628570556641 × 217)
    floor (0.321628570556641 × 131072)
    floor (42156.5)     		ty = 42156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107855 / 42156 ti = "17/107855/42156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107855/42156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107855 ÷ 217
    107855 ÷ 131072     		x = 0.822868347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42156 ÷ 217
    42156 ÷ 131072     		y = 0.321624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822868347167969 × 2 - 1) × π
    0.645736694335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.02864166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321624755859375 × 2 - 1) × π
    0.35675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12076471311691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02864166} λ = 2.02864166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12076471311691))-π/2
    2×atan(3.06719883387431)-π/2
    2×1.25563276708828-π/2
    2.51126553417656-1.57079632675     		φ = 0.94046921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02864166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.232605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94046921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.884916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107855 KachelY 42156 2.02864166 0.94046921 116.232605 53.884916
    Oben rechts KachelX + 1 107856 KachelY 42156 2.02868959 0.94046921 116.235351 53.884916
    Unten links KachelX 107855 KachelY + 1 42157 2.02864166 0.94044095 116.232605 53.883297
    Unten rechts KachelX + 1 107856 KachelY + 1 42157 2.02868959 0.94044095 116.235351 53.883297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94046921-0.94044095) × R
    2.82600000000022e-05 × 6371000     		dl = 180.044460000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94046921-0.94044095) × R
    2.82600000000022e-05 × 6371000     		dr = 180.044460000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02864166-2.02868959) × cos(0.94046921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.589409045785429 × 6371000     		do = 179.983142721512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02864166-2.02868959) × cos(0.94044095) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.589431874959987 × 6371000     		du = 179.990113884598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94046921)-sin(0.94044095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589409045785429-0.589431874959987)×R²
    abs(2.02868959-2.02864166)×2.28291745580922e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28291745580922e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28291745580922e-05×40589641000000     		ar = 32405.5953023528m²