Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107854 / 46422
↖ ↑ ↗
← N 46.396200°
E116.229859°		 ← 210.64 m → N 46.396200°
E116.232605°		 →
↑
210.63 m
↓
↑
210.63 m
↓
N 46.394306°
E116.229859°		 ← 210.65 m →
44 367 m²		 N 46.394306°
E116.232605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822864532470703 y=0.354175567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822864532470703 × 217)
    floor (0.822864532470703 × 131072)
    floor (107854.5)     		tx = 107854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354175567626953 × 217)
    floor (0.354175567626953 × 131072)
    floor (46422.5)     		ty = 46422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107854 / 46422 ti = "17/107854/46422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107854/46422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107854 ÷ 217
    107854 ÷ 131072     		x = 0.822860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46422 ÷ 217
    46422 ÷ 131072     		y = 0.354171752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822860717773438 × 2 - 1) × π
    0.645721435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02859372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354171752929688 × 2 - 1) × π
    0.291656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.916265899337753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02859372} λ = 2.02859372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.916265899337753))-π/2
    2×atan(2.49993791942981)-π/2
    2×1.19028138666195-π/2
    2.38056277332391-1.57079632675     		φ = 0.80976645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02859372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.229859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80976645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.396200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107854 KachelY 46422 2.02859372 0.80976645 116.229859 46.396200
    Oben rechts KachelX + 1 107855 KachelY 46422 2.02864166 0.80976645 116.232605 46.396200
    Unten links KachelX 107854 KachelY + 1 46423 2.02859372 0.80973339 116.229859 46.394306
    Unten rechts KachelX + 1 107855 KachelY + 1 46423 2.02864166 0.80973339 116.232605 46.394306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80976645-0.80973339) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dl = 210.625260000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80976645-0.80973339) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dr = 210.625260000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02859372-2.02864166) × cos(0.80976645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68966757141523 × 6371000     		do = 210.642228353361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02859372-2.02864166) × cos(0.80973339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689691510647936 × 6371000     		du = 210.649540011226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80976645)-sin(0.80973339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68966757141523-0.689691510647936)×R²
    abs(2.02864166-2.02859372)×2.39392327067156e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39392327067156e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39392327067156e-05×40589641000000     		ar = 44367.344128029m²