Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107854 / 42158
↖ ↑ ↗
← N 53.881679°
E116.229859°		 ← 180.03 m → N 53.881679°
E116.232605°		 →
↑
180.04 m
↓
↑
180.04 m
↓
N 53.880060°
E116.229859°		 ← 180.04 m →
32 415 m²		 N 53.880060°
E116.232605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822864532470703 y=0.321643829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822864532470703 × 217)
    floor (0.822864532470703 × 131072)
    floor (107854.5)     		tx = 107854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321643829345703 × 217)
    floor (0.321643829345703 × 131072)
    floor (42158.5)     		ty = 42158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107854 / 42158 ti = "17/107854/42158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107854/42158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107854 ÷ 217
    107854 ÷ 131072     		x = 0.822860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42158 ÷ 217
    42158 ÷ 131072     		y = 0.321640014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822860717773438 × 2 - 1) × π
    0.645721435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02859372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321640014648438 × 2 - 1) × π
    0.356719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12066883931767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02859372} λ = 2.02859372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12066883931767))-π/2
    2×atan(3.06690478396514)-π/2
    2×1.25560451155175-π/2
    2.51120902310349-1.57079632675     		φ = 0.94041270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02859372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.229859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94041270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.881679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107854 KachelY 42158 2.02859372 0.94041270 116.229859 53.881679
    Oben rechts KachelX + 1 107855 KachelY 42158 2.02864166 0.94041270 116.232605 53.881679
    Unten links KachelX 107854 KachelY + 1 42159 2.02859372 0.94038444 116.229859 53.880060
    Unten rechts KachelX + 1 107855 KachelY + 1 42159 2.02864166 0.94038444 116.232605 53.880060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94041270-0.94038444) × R
    2.82600000000022e-05 × 6371000     		dl = 180.044460000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94041270-0.94038444) × R
    2.82600000000022e-05 × 6371000     		dr = 180.044460000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02859372-2.02864166) × cos(0.94041270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589454695585794 × 6371000     		do = 180.034636595648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02859372-2.02864166) × cos(0.94038444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589477523819027 × 6371000     		du = 180.041608925676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94041270)-sin(0.94038444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589454695585794-0.589477523819027)×R²
    abs(2.02864166-2.02859372)×2.28282332332963e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28282332332963e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28282332332963e-05×40589641000000     		ar = 32414.8665939683m²