Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107854 / 42157
↖ ↑ ↗
← N 53.883297°
E116.229859°		 ← 180.03 m → N 53.883297°
E116.232605°		 →
↑
179.98 m
↓
↑
179.98 m
↓
N 53.881679°
E116.229859°		 ← 180.03 m →
32 402 m²		 N 53.881679°
E116.232605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822864532470703 y=0.321636199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822864532470703 × 217)
    floor (0.822864532470703 × 131072)
    floor (107854.5)     		tx = 107854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321636199951172 × 217)
    floor (0.321636199951172 × 131072)
    floor (42157.5)     		ty = 42157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107854 / 42157 ti = "17/107854/42157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107854/42157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107854 ÷ 217
    107854 ÷ 131072     		x = 0.822860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42157 ÷ 217
    42157 ÷ 131072     		y = 0.321632385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822860717773438 × 2 - 1) × π
    0.645721435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02859372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321632385253906 × 2 - 1) × π
    0.356735229492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.12071677621729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02859372} λ = 2.02859372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12071677621729))-π/2
    2×atan(3.06705180539576)-π/2
    2×1.25561863959356-π/2
    2.51123727918712-1.57079632675     		φ = 0.94044095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02859372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.229859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94044095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.883297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107854 KachelY 42157 2.02859372 0.94044095 116.229859 53.883297
    Oben rechts KachelX + 1 107855 KachelY 42157 2.02864166 0.94044095 116.232605 53.883297
    Unten links KachelX 107854 KachelY + 1 42158 2.02859372 0.94041270 116.229859 53.881679
    Unten rechts KachelX + 1 107855 KachelY + 1 42158 2.02864166 0.94041270 116.232605 53.881679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94044095-0.94041270) × R
    2.82500000000629e-05 × 6371000     		dl = 179.980750000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94044095-0.94041270) × R
    2.82500000000629e-05 × 6371000     		dr = 179.980750000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02859372-2.02864166) × cos(0.94044095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589431874959987 × 6371000     		do = 180.027666589123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02859372-2.02864166) × cos(0.94041270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589454695585794 × 6371000     		du = 180.034636595648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94044095)-sin(0.94041270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589431874959987-0.589454695585794)×R²
    abs(2.02864166-2.02859372)×2.28206258071628e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28206258071628e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28206258071628e-05×40589641000000     		ar = 32402.1416891274m²