Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107850 / 41714
↖ ↑ ↗
← N 54.594345°
E116.218872°		 ← 176.95 m → N 54.594345°
E116.221619°		 →
↑
176.92 m
↓
↑
176.92 m
↓
N 54.592754°
E116.218872°		 ← 176.96 m →
31 307 m²		 N 54.592754°
E116.221619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822834014892578 y=0.318256378173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822834014892578 × 217)
    floor (0.822834014892578 × 131072)
    floor (107850.5)     		tx = 107850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318256378173828 × 217)
    floor (0.318256378173828 × 131072)
    floor (41714.5)     		ty = 41714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107850 / 41714 ti = "17/107850/41714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107850/41714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107850 ÷ 217
    107850 ÷ 131072     		x = 0.822830200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41714 ÷ 217
    41714 ÷ 131072     		y = 0.318252563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822830200195312 × 2 - 1) × π
    0.645660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02840197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318252563476562 × 2 - 1) × π
    0.363494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14195282274898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02840197} λ = 2.02840197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14195282274898))-π/2
    2×atan(3.13288035545495)-π/2
    2×1.26182370390789-π/2
    2.52364740781577-1.57079632675     		φ = 0.95285108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02840197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.218872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95285108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.594345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107850 KachelY 41714 2.02840197 0.95285108 116.218872 54.594345
    Oben rechts KachelX + 1 107851 KachelY 41714 2.02844991 0.95285108 116.221619 54.594345
    Unten links KachelX 107850 KachelY + 1 41715 2.02840197 0.95282331 116.218872 54.592754
    Unten rechts KachelX + 1 107851 KachelY + 1 41715 2.02844991 0.95282331 116.221619 54.592754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95285108-0.95282331) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dl = 176.922669999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95285108-0.95282331) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dr = 176.922669999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02840197-2.02844991) × cos(0.95285108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579361615778761 × 6371000     		do = 176.951950226708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02840197-2.02844991) × cos(0.95282331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579384250066525 × 6371000     		du = 176.958863320797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95285108)-sin(0.95282331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579361615778761-0.579384250066525)×R²
    abs(2.02844991-2.02840197)×2.26342877643892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26342877643892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26342877643892e-05×40589641000000     		ar = 31307.4230394125m²