Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107849 / 43096
↖ ↑ ↗
← N 52.335339°
E116.216125°		 ← 186.63 m → N 52.335339°
E116.218872°		 →
↑
186.61 m
↓
↑
186.61 m
↓
N 52.333661°
E116.216125°		 ← 186.63 m →
34 826 m²		 N 52.333661°
E116.218872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822826385498047 y=0.328800201416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822826385498047 × 217)
    floor (0.822826385498047 × 131072)
    floor (107849.5)     		tx = 107849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328800201416016 × 217)
    floor (0.328800201416016 × 131072)
    floor (43096.5)     		ty = 43096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107849 / 43096 ti = "17/107849/43096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107849/43096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107849 ÷ 217
    107849 ÷ 131072     		x = 0.822822570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43096 ÷ 217
    43096 ÷ 131072     		y = 0.32879638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822822570800781 × 2 - 1) × π
    0.645645141601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02835403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32879638671875 × 2 - 1) × π
    0.3424072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07570402747406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02835403} λ = 2.02835403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07570402747406))-π/2
    2×atan(2.93205642233727)-π/2
    2×1.24211015436411-π/2
    2.48422030872821-1.57079632675     		φ = 0.91342398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02835403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.216125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91342398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.335339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107849 KachelY 43096 2.02835403 0.91342398 116.216125 52.335339
    Oben rechts KachelX + 1 107850 KachelY 43096 2.02840197 0.91342398 116.218872 52.335339
    Unten links KachelX 107849 KachelY + 1 43097 2.02835403 0.91339469 116.216125 52.333661
    Unten rechts KachelX + 1 107850 KachelY + 1 43097 2.02840197 0.91339469 116.218872 52.333661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91342398-0.91339469) × R
    2.92900000000706e-05 × 6371000     		dl = 186.60659000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91342398-0.91339469) × R
    2.92900000000706e-05 × 6371000     		dr = 186.60659000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02835403-2.02840197) × cos(0.91342398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611038912092863 × 6371000     		do = 186.627011894635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02835403-2.02840197) × cos(0.91339469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61106209781118 × 6371000     		du = 186.63409340981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91342398)-sin(0.91339469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611038912092863-0.61106209781118)×R²
    abs(2.02840197-2.02835403)×2.31857183170536e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31857183170536e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31857183170536e-05×40589641000000     		ar = 34826.4910226465m²