Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107847 / 41720
↖ ↑ ↗
← N 54.584796°
E116.210632°		 ← 176.99 m → N 54.584796°
E116.213379°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
N 54.583205°
E116.210632°		 ← 177 m →
31 326 m²		 N 54.583205°
E116.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822811126708984 y=0.318302154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822811126708984 × 217)
    floor (0.822811126708984 × 131072)
    floor (107847.5)     		tx = 107847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318302154541016 × 217)
    floor (0.318302154541016 × 131072)
    floor (41720.5)     		ty = 41720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107847 / 41720 ti = "17/107847/41720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107847/41720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107847 ÷ 217
    107847 ÷ 131072     		x = 0.822807312011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41720 ÷ 217
    41720 ÷ 131072     		y = 0.31829833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822807312011719 × 2 - 1) × π
    0.645614624023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.02825816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31829833984375 × 2 - 1) × π
    0.3634033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14166520135126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02825816} λ = 2.02825816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14166520135126))-π/2
    2×atan(3.13197940160123)-π/2
    2×1.26174037574253-π/2
    2.52348075148506-1.57079632675     		φ = 0.95268442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02825816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.210632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95268442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.584796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107847 KachelY 41720 2.02825816 0.95268442 116.210632 54.584796
    Oben rechts KachelX + 1 107848 KachelY 41720 2.02830610 0.95268442 116.213379 54.584796
    Unten links KachelX 107847 KachelY + 1 41721 2.02825816 0.95265664 116.210632 54.583205
    Unten rechts KachelX + 1 107848 KachelY + 1 41721 2.02830610 0.95265664 116.213379 54.583205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95268442-0.95265664) × R
    2.77799999999218e-05 × 6371000     		dl = 176.986379999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95268442-0.95265664) × R
    2.77799999999218e-05 × 6371000     		dr = 176.986379999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02825816-2.02830610) × cos(0.95268442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579497447401879 × 6371000     		do = 176.993436700714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02825816-2.02830610) × cos(0.95265664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579520087157485 × 6371000     		du = 177.000351464823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95268442)-sin(0.95265664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579497447401879-0.579520087157485)×R²
    abs(2.02830610-2.02825816)×2.26397556057911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26397556057911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26397556057911e-05×40589641000000     		ar = 31326.0395568708m²