Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107845 / 41739
↖ ↑ ↗
← N 54.554544°
E116.205139°		 ← 177.09 m → N 54.554544°
E116.207886°		 →
↑
177.11 m
↓
↑
177.11 m
↓
N 54.552951°
E116.205139°		 ← 177.09 m →
31 365 m²		 N 54.552951°
E116.207886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822795867919922 y=0.318447113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822795867919922 × 217)
    floor (0.822795867919922 × 131072)
    floor (107845.5)     		tx = 107845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318447113037109 × 217)
    floor (0.318447113037109 × 131072)
    floor (41739.5)     		ty = 41739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107845 / 41739 ti = "17/107845/41739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107845/41739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107845 ÷ 217
    107845 ÷ 131072     		x = 0.822792053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41739 ÷ 217
    41739 ÷ 131072     		y = 0.318443298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822792053222656 × 2 - 1) × π
    0.645584106445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.02816229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318443298339844 × 2 - 1) × π
    0.363113403320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.14075440025848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02816229} λ = 2.02816229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14075440025848))-π/2
    2×atan(3.12912809002565)-π/2
    2×1.26147637433309-π/2
    2.52295274866618-1.57079632675     		φ = 0.95215642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02816229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.205139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95215642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.554544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107845 KachelY 41739 2.02816229 0.95215642 116.205139 54.554544
    Oben rechts KachelX + 1 107846 KachelY 41739 2.02821022 0.95215642 116.207886 54.554544
    Unten links KachelX 107845 KachelY + 1 41740 2.02816229 0.95212862 116.205139 54.552951
    Unten rechts KachelX + 1 107846 KachelY + 1 41740 2.02821022 0.95212862 116.207886 54.552951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95215642-0.95212862) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dl = 177.113800000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95215642-0.95212862) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dr = 177.113800000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02816229-2.02821022) × cos(0.95215642) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579927672905013 × 6371000     		do = 177.087891451559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02816229-2.02821022) × cos(0.95212862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579950320450359 × 6371000     		du = 177.094807151981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95215642)-sin(0.95212862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579927672905013-0.579950320450359)×R²
    abs(2.02821022-2.02816229)×2.26475453455333e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26475453455333e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26475453455333e-05×40589641000000     		ar = 31365.3218238991m²