Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107844 / 43052
↖ ↑ ↗
← N 52.409121°
E116.202393°		 ← 186.32 m → N 52.409121°
E116.205139°		 →
↑
186.29 m
↓
↑
186.29 m
↓
N 52.407446°
E116.202393°		 ← 186.32 m →
34 709 m²		 N 52.407446°
E116.205139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822788238525391 y=0.328464508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822788238525391 × 217)
    floor (0.822788238525391 × 131072)
    floor (107844.5)     		tx = 107844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328464508056641 × 217)
    floor (0.328464508056641 × 131072)
    floor (43052.5)     		ty = 43052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107844 / 43052 ti = "17/107844/43052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107844/43052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107844 ÷ 217
    107844 ÷ 131072     		x = 0.822784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43052 ÷ 217
    43052 ÷ 131072     		y = 0.328460693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822784423828125 × 2 - 1) × π
    0.64556884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02811435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328460693359375 × 2 - 1) × π
    0.34307861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07781325105734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02811435} λ = 2.02811435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07781325105734))-π/2
    2×atan(2.93824731158039)-π/2
    2×1.24275402535293-π/2
    2.48550805070587-1.57079632675     		φ = 0.91471172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02811435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.202393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91471172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.409121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107844 KachelY 43052 2.02811435 0.91471172 116.202393 52.409121
    Oben rechts KachelX + 1 107845 KachelY 43052 2.02816229 0.91471172 116.205139 52.409121
    Unten links KachelX 107844 KachelY + 1 43053 2.02811435 0.91468248 116.202393 52.407446
    Unten rechts KachelX + 1 107845 KachelY + 1 43053 2.02816229 0.91468248 116.205139 52.407446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91471172-0.91468248) × R
    2.92400000000415e-05 × 6371000     		dl = 186.288040000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91471172-0.91468248) × R
    2.92400000000415e-05 × 6371000     		dr = 186.288040000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02811435-2.02816229) × cos(0.91471172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610019030033398 × 6371000     		do = 186.315513661911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02811435-2.02816229) × cos(0.91468248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610042199161583 × 6371000     		du = 186.322590110032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91471172)-sin(0.91468248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610019030033398-0.610042199161583)×R²
    abs(2.02816229-2.02811435)×2.31691281856738e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31691281856738e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31691281856738e-05×40589641000000     		ar = 34709.0109930233m²