Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107843 / 43073
↖ ↑ ↗
← N 52.373923°
E116.199646°		 ← 186.46 m → N 52.373923°
E116.202393°		 →
↑
186.48 m
↓
↑
186.48 m
↓
N 52.372245°
E116.199646°		 ← 186.47 m →
34 772 m²		 N 52.372245°
E116.202393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822780609130859 y=0.328624725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822780609130859 × 217)
    floor (0.822780609130859 × 131072)
    floor (107843.5)     		tx = 107843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328624725341797 × 217)
    floor (0.328624725341797 × 131072)
    floor (43073.5)     		ty = 43073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107843 / 43073 ti = "17/107843/43073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107843/43073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107843 ÷ 217
    107843 ÷ 131072     		x = 0.822776794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43073 ÷ 217
    43073 ÷ 131072     		y = 0.328620910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822776794433594 × 2 - 1) × π
    0.645553588867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.02806641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328620910644531 × 2 - 1) × π
    0.342758178710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.07680657616532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02806641} λ = 2.02806641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07680657616532))-π/2
    2×atan(2.93529094008742)-π/2
    2×1.24244685745929-π/2
    2.48489371491858-1.57079632675     		φ = 0.91409739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02806641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.199646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91409739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.373923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107843 KachelY 43073 2.02806641 0.91409739 116.199646 52.373923
    Oben rechts KachelX + 1 107844 KachelY 43073 2.02811435 0.91409739 116.202393 52.373923
    Unten links KachelX 107843 KachelY + 1 43074 2.02806641 0.91406812 116.199646 52.372245
    Unten rechts KachelX + 1 107844 KachelY + 1 43074 2.02811435 0.91406812 116.202393 52.372245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91409739-0.91406812) × R
    2.92699999999702e-05 × 6371000     		dl = 186.47916999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91409739-0.91406812) × R
    2.92699999999702e-05 × 6371000     		dr = 186.47916999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02806641-2.02811435) × cos(0.91409739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610505701852211 × 6371000     		do = 186.464155762309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02806641-2.02811435) × cos(0.91406812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61052888377786 × 6371000     		du = 186.471236119105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91409739)-sin(0.91406812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610505701852211-0.61052888377786)×R²
    abs(2.02811435-2.02806641)×2.31819256487631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31819256487631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31819256487631e-05×40589641000000     		ar = 34772.341173436m²