Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107841 / 41741
↖ ↑ ↗
← N 54.551359°
E116.194153°		 ← 177.14 m → N 54.551359°
E116.196900°		 →
↑
177.11 m
↓
↑
177.11 m
↓
N 54.549766°
E116.194153°		 ← 177.15 m →
31 374 m²		 N 54.549766°
E116.196900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822765350341797 y=0.318462371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822765350341797 × 217)
    floor (0.822765350341797 × 131072)
    floor (107841.5)     		tx = 107841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318462371826172 × 217)
    floor (0.318462371826172 × 131072)
    floor (41741.5)     		ty = 41741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107841 / 41741 ti = "17/107841/41741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107841/41741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107841 ÷ 217
    107841 ÷ 131072     		x = 0.822761535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41741 ÷ 217
    41741 ÷ 131072     		y = 0.318458557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822761535644531 × 2 - 1) × π
    0.645523071289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.02797054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318458557128906 × 2 - 1) × π
    0.363082885742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.14065852645924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02797054} λ = 2.02797054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14065852645924))-π/2
    2×atan(3.12882810300803)-π/2
    2×1.26144857331284-π/2
    2.52289714662569-1.57079632675     		φ = 0.95210082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02797054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.194153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95210082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.551359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107841 KachelY 41741 2.02797054 0.95210082 116.194153 54.551359
    Oben rechts KachelX + 1 107842 KachelY 41741 2.02801848 0.95210082 116.196900 54.551359
    Unten links KachelX 107841 KachelY + 1 41742 2.02797054 0.95207302 116.194153 54.549766
    Unten rechts KachelX + 1 107842 KachelY + 1 41742 2.02801848 0.95207302 116.196900 54.549766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95210082-0.95207302) × R
    2.77999999999112e-05 × 6371000     		dl = 177.113799999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95210082-0.95207302) × R
    2.77999999999112e-05 × 6371000     		dr = 177.113799999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02797054-2.02801848) × cos(0.95210082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579972967547496 × 6371000     		do = 177.138672793074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02797054-2.02801848) × cos(0.95207302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579995614196406 × 6371000     		du = 177.145589662576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95210082)-sin(0.95207302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579972967547496-0.579995614196406)×R²
    abs(2.02801848-2.02797054)×2.26466489103849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26466489103849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26466489103849e-05×40589641000000     		ar = 31374.3160038911m²