Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107840 / 42052
↖ ↑ ↗
← N 54.052939°
E116.191406°		 ← 179.30 m → N 54.052939°
E116.194153°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
N 54.051326°
E116.191406°		 ← 179.30 m →
32 156 m²		 N 54.051326°
E116.194153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822757720947266 y=0.320835113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822757720947266 × 217)
    floor (0.822757720947266 × 131072)
    floor (107840.5)     		tx = 107840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320835113525391 × 217)
    floor (0.320835113525391 × 131072)
    floor (42052.5)     		ty = 42052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107840 / 42052 ti = "17/107840/42052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107840/42052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107840 ÷ 217
    107840 ÷ 131072     		x = 0.82275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42052 ÷ 217
    42052 ÷ 131072     		y = 0.320831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82275390625 × 2 - 1) × π
    0.6455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02792260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320831298828125 × 2 - 1) × π
    0.35833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1257501506774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02792260} λ = 2.02792260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1257501506774))-π/2
    2×atan(3.08252834254964)-π/2
    2×1.25709904135774-π/2
    2.51419808271548-1.57079632675     		φ = 0.94340176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02792260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94340176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.052939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107840 KachelY 42052 2.02792260 0.94340176 116.191406 54.052939
    Oben rechts KachelX + 1 107841 KachelY 42052 2.02797054 0.94340176 116.194153 54.052939
    Unten links KachelX 107840 KachelY + 1 42053 2.02792260 0.94337361 116.191406 54.051326
    Unten rechts KachelX + 1 107841 KachelY + 1 42053 2.02797054 0.94337361 116.194153 54.051326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94340176-0.94337361) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94340176-0.94337361) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02792260-2.02797054) × cos(0.94340176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587037498984025 × 6371000     		do = 179.296362534828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02792260-2.02797054) × cos(0.94337361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58706028785815 × 6371000     		du = 179.303322843571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94340176)-sin(0.94337361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587037498984025-0.58706028785815)×R²
    abs(2.02797054-2.02792260)×2.27888741246574e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27888741246574e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27888741246574e-05×40589641000000     		ar = 32156.2882344178m²