Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107839 / 42053
↖ ↑ ↗
← N 54.051326°
E116.188659°		 ← 179.30 m → N 54.051326°
E116.191406°		 →
↑
179.28 m
↓
↑
179.28 m
↓
N 54.049714°
E116.188659°		 ← 179.31 m →
32 146 m²		 N 54.049714°
E116.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822750091552734 y=0.320842742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822750091552734 × 217)
    floor (0.822750091552734 × 131072)
    floor (107839.5)     		tx = 107839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320842742919922 × 217)
    floor (0.320842742919922 × 131072)
    floor (42053.5)     		ty = 42053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107839 / 42053 ti = "17/107839/42053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107839/42053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107839 ÷ 217
    107839 ÷ 131072     		x = 0.822746276855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42053 ÷ 217
    42053 ÷ 131072     		y = 0.320838928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822746276855469 × 2 - 1) × π
    0.645492553710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.02787466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320838928222656 × 2 - 1) × π
    0.358322143554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.12570221377778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02787466} λ = 2.02787466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12570221377778))-π/2
    2×atan(3.0823805792396)-π/2
    2×1.25708497070581-π/2
    2.51416994141161-1.57079632675     		φ = 0.94337361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02787466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.188659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94337361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.051326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107839 KachelY 42053 2.02787466 0.94337361 116.188659 54.051326
    Oben rechts KachelX + 1 107840 KachelY 42053 2.02792260 0.94337361 116.191406 54.051326
    Unten links KachelX 107839 KachelY + 1 42054 2.02787466 0.94334547 116.188659 54.049714
    Unten rechts KachelX + 1 107840 KachelY + 1 42054 2.02792260 0.94334547 116.191406 54.049714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94337361-0.94334547) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dl = 179.279939999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94337361-0.94334547) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dr = 179.279939999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02787466-2.02792260) × cos(0.94337361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58706028785815 × 6371000     		do = 179.303322843571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02787466-2.02792260) × cos(0.94334547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587083068171808 × 6371000     		du = 179.310280537727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94337361)-sin(0.94334547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58706028785815-0.587083068171808)×R²
    abs(2.02792260-2.02787466)×2.27803136578775e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27803136578775e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27803136578775e-05×40589641000000     		ar = 32146.1126508978m²