Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107838 / 41726
↖ ↑ ↗
← N 54.575246°
E116.185913°		 ← 177 m → N 54.575246°
E116.188659°		 →
↑
177.05 m
↓
↑
177.05 m
↓
N 54.573654°
E116.185913°		 ← 177 m →
31 338 m²		 N 54.573654°
E116.188659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822742462158203 y=0.318347930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822742462158203 × 217)
    floor (0.822742462158203 × 131072)
    floor (107838.5)     		tx = 107838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318347930908203 × 217)
    floor (0.318347930908203 × 131072)
    floor (41726.5)     		ty = 41726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107838 / 41726 ti = "17/107838/41726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107838/41726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107838 ÷ 217
    107838 ÷ 131072     		x = 0.822738647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41726 ÷ 217
    41726 ÷ 131072     		y = 0.318344116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822738647460938 × 2 - 1) × π
    0.645477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02782673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318344116210938 × 2 - 1) × π
    0.363311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14137757995354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02782673} λ = 2.02782673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14137757995354))-π/2
    2×atan(3.13107870684387)-π/2
    2×1.26165702804243-π/2
    2.52331405608487-1.57079632675     		φ = 0.95251773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02782673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.185913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95251773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.575246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107838 KachelY 41726 2.02782673 0.95251773 116.185913 54.575246
    Oben rechts KachelX + 1 107839 KachelY 41726 2.02787466 0.95251773 116.188659 54.575246
    Unten links KachelX 107838 KachelY + 1 41727 2.02782673 0.95248994 116.185913 54.573654
    Unten rechts KachelX + 1 107839 KachelY + 1 41727 2.02787466 0.95248994 116.188659 54.573654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95251773-0.95248994) × R
    2.7789999999972e-05 × 6371000     		dl = 177.050089999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95251773-0.95248994) × R
    2.7789999999972e-05 × 6371000     		dr = 177.050089999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02782673-2.02787466) × cos(0.95251773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579633287375457 × 6371000     		do = 176.997997288651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02782673-2.02787466) × cos(0.95248994) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579655932595861 × 6371000     		du = 177.004912279124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95251773)-sin(0.95248994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579633287375457-0.579655932595861)×R²
    abs(2.02787466-2.02782673)×2.26452204034056e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26452204034056e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26452204034056e-05×40589641000000     		ar = 31338.1235014838m²