Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107836 / 41704
↖ ↑ ↗
← N 54.610255°
E116.180420°		 ← 176.88 m → N 54.610255°
E116.183166°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
N 54.608664°
E116.180420°		 ← 176.89 m →
31 284 m²		 N 54.608664°
E116.183166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822727203369141 y=0.318180084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822727203369141 × 217)
    floor (0.822727203369141 × 131072)
    floor (107836.5)     		tx = 107836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318180084228516 × 217)
    floor (0.318180084228516 × 131072)
    floor (41704.5)     		ty = 41704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107836 / 41704 ti = "17/107836/41704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107836/41704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107836 ÷ 217
    107836 ÷ 131072     		x = 0.822723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41704 ÷ 217
    41704 ÷ 131072     		y = 0.31817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822723388671875 × 2 - 1) × π
    0.64544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02773085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31817626953125 × 2 - 1) × π
    0.3636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14243219174518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02773085} λ = 2.02773085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14243219174518))-π/2
    2×atan(3.13438252118323)-π/2
    2×1.26196254077909-π/2
    2.52392508155818-1.57079632675     		φ = 0.95312875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02773085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.180420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95312875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.610255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107836 KachelY 41704 2.02773085 0.95312875 116.180420 54.610255
    Oben rechts KachelX + 1 107837 KachelY 41704 2.02777879 0.95312875 116.183166 54.610255
    Unten links KachelX 107836 KachelY + 1 41705 2.02773085 0.95310099 116.180420 54.608664
    Unten rechts KachelX + 1 107837 KachelY + 1 41705 2.02777879 0.95310099 116.183166 54.608664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95312875-0.95310099) × R
    2.77599999999323e-05 × 6371000     		dl = 176.858959999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95312875-0.95310099) × R
    2.77599999999323e-05 × 6371000     		dr = 176.858959999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02773085-2.02777879) × cos(0.95312875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579135272787602 × 6371000     		do = 176.882819251139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02773085-2.02777879) × cos(0.95310099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579157903389825 × 6371000     		du = 176.88973121957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95312875)-sin(0.95310099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579135272787602-0.579157903389825)×R²
    abs(2.02777879-2.02773085)×2.26306022222955e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26306022222955e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26306022222955e-05×40589641000000     		ar = 31283.922678272m²