Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107834 / 46330
↖ ↑ ↗
← N 46.570191°
E116.174927°		 ← 209.97 m → N 46.570191°
E116.177674°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
N 46.568302°
E116.174927°		 ← 209.98 m →
44 092 m²		 N 46.568302°
E116.177674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822711944580078 y=0.353473663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822711944580078 × 217)
    floor (0.822711944580078 × 131072)
    floor (107834.5)     		tx = 107834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353473663330078 × 217)
    floor (0.353473663330078 × 131072)
    floor (46330.5)     		ty = 46330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107834 / 46330 ti = "17/107834/46330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107834/46330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107834 ÷ 217
    107834 ÷ 131072     		x = 0.822708129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46330 ÷ 217
    46330 ÷ 131072     		y = 0.353469848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822708129882812 × 2 - 1) × π
    0.645416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02763498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353469848632812 × 2 - 1) × π
    0.293060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.920676094102798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02763498} λ = 2.02763498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920676094102798))-π/2
    2×atan(2.51098748000279)-π/2
    2×1.19179974273107-π/2
    2.38359948546214-1.57079632675     		φ = 0.81280316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02763498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.174927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81280316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.570191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107834 KachelY 46330 2.02763498 0.81280316 116.174927 46.570191
    Oben rechts KachelX + 1 107835 KachelY 46330 2.02768292 0.81280316 116.177674 46.570191
    Unten links KachelX 107834 KachelY + 1 46331 2.02763498 0.81277020 116.174927 46.568302
    Unten rechts KachelX + 1 107835 KachelY + 1 46331 2.02768292 0.81277020 116.177674 46.568302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81280316-0.81277020) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81280316-0.81277020) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02763498-2.02768292) × cos(0.81280316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687465433838738 × 6371000     		do = 209.96963885448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02763498-2.02768292) × cos(0.81277020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687489369580953 × 6371000     		du = 209.976949446258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81280316)-sin(0.81277020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687465433838738-0.687489369580953)×R²
    abs(2.02768292-2.02763498)×2.39357422150421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39357422150421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39357422150421e-05×40589641000000     		ar = 44091.905691804m²