Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107833 / 42055
↖ ↑ ↗
← N 54.048102°
E116.172180°		 ← 179.32 m → N 54.048102°
E116.174927°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
N 54.046489°
E116.172180°		 ← 179.32 m →
32 160 m²		 N 54.046489°
E116.174927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822704315185547 y=0.320858001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822704315185547 × 217)
    floor (0.822704315185547 × 131072)
    floor (107833.5)     		tx = 107833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320858001708984 × 217)
    floor (0.320858001708984 × 131072)
    floor (42055.5)     		ty = 42055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107833 / 42055 ti = "17/107833/42055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107833/42055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107833 ÷ 217
    107833 ÷ 131072     		x = 0.822700500488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42055 ÷ 217
    42055 ÷ 131072     		y = 0.320854187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822700500488281 × 2 - 1) × π
    0.645401000976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02758704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320854187011719 × 2 - 1) × π
    0.358291625976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.12560633997854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02758704} λ = 2.02758704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12560633997854))-π/2
    2×atan(3.0820850738686)-π/2
    2×1.25705682776378-π/2
    2.51411365552756-1.57079632675     		φ = 0.94331733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02758704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.172180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94331733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.048102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107833 KachelY 42055 2.02758704 0.94331733 116.172180 54.048102
    Oben rechts KachelX + 1 107834 KachelY 42055 2.02763498 0.94331733 116.174927 54.048102
    Unten links KachelX 107833 KachelY + 1 42056 2.02758704 0.94328918 116.172180 54.046489
    Unten rechts KachelX + 1 107834 KachelY + 1 42056 2.02763498 0.94328918 116.174927 54.046489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94331733-0.94328918) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94331733-0.94328918) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02758704-2.02763498) × cos(0.94331733) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.587105848020579 × 6371000     		do = 179.317238091556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02758704-2.02763498) × cos(0.94328918) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.58712863549938 × 6371000     		du = 179.324197974132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94331733)-sin(0.94328918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587105848020579-0.58712863549938)×R²
    abs(2.02763498-2.02758704)×2.27874788016891e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.27874788016891e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.27874788016891e-05×40589641000000     		ar = 32160.0320947279m²