Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107833 / 41702
↖ ↑ ↗
← N 54.613436°
E116.172180°		 ← 176.87 m → N 54.613436°
E116.174927°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
N 54.611846°
E116.172180°		 ← 176.88 m →
31 281 m²		 N 54.611846°
E116.174927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822704315185547 y=0.318164825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822704315185547 × 217)
    floor (0.822704315185547 × 131072)
    floor (107833.5)     		tx = 107833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318164825439453 × 217)
    floor (0.318164825439453 × 131072)
    floor (41702.5)     		ty = 41702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107833 / 41702 ti = "17/107833/41702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107833/41702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107833 ÷ 217
    107833 ÷ 131072     		x = 0.822700500488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41702 ÷ 217
    41702 ÷ 131072     		y = 0.318161010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822700500488281 × 2 - 1) × π
    0.645401000976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02758704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318161010742188 × 2 - 1) × π
    0.363677978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14252806554442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02758704} λ = 2.02758704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14252806554442))-π/2
    2×atan(3.13468304074955)-π/2
    2×1.26199030164343-π/2
    2.52398060328685-1.57079632675     		φ = 0.95318428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02758704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.172180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95318428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.613436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107833 KachelY 41702 2.02758704 0.95318428 116.172180 54.613436
    Oben rechts KachelX + 1 107834 KachelY 41702 2.02763498 0.95318428 116.174927 54.613436
    Unten links KachelX 107833 KachelY + 1 41703 2.02758704 0.95315652 116.172180 54.611846
    Unten rechts KachelX + 1 107834 KachelY + 1 41703 2.02763498 0.95315652 116.174927 54.611846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95318428-0.95315652) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dl = 176.858960000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95318428-0.95315652) × R
    2.77600000000433e-05 × 6371000     		dr = 176.858960000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02758704-2.02763498) × cos(0.95318428) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.579090002091664 × 6371000     		do = 176.86899241697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02758704-2.02763498) × cos(0.95315652) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.579112633586613 × 6371000     		du = 176.875904658063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95318428)-sin(0.95315652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579090002091664-0.579112633586613)×R²
    abs(2.02763498-2.02758704)×2.26314949492989e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.26314949492989e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.26314949492989e-05×40589641000000     		ar = 31281.4773029742m²