Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107832 / 43160
↖ ↑ ↗
← N 52.227799°
E116.169434°		 ← 187.04 m → N 52.227799°
E116.172180°		 →
↑
187.05 m
↓
↑
187.05 m
↓
N 52.226117°
E116.169434°		 ← 187.05 m →
34 987 m²		 N 52.226117°
E116.172180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822696685791016 y=0.329288482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822696685791016 × 217)
    floor (0.822696685791016 × 131072)
    floor (107832.5)     		tx = 107832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329288482666016 × 217)
    floor (0.329288482666016 × 131072)
    floor (43160.5)     		ty = 43160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107832 / 43160 ti = "17/107832/43160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107832/43160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107832 ÷ 217
    107832 ÷ 131072     		x = 0.82269287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43160 ÷ 217
    43160 ÷ 131072     		y = 0.32928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82269287109375 × 2 - 1) × π
    0.6453857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02753911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32928466796875 × 2 - 1) × π
    0.3414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07263606589838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02753911} λ = 2.02753911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07263606589838))-π/2
    2×atan(2.92307477062187)-π/2
    2×1.2411716938533-π/2
    2.48234338770659-1.57079632675     		φ = 0.91154706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02753911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.169434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91154706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.227799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107832 KachelY 43160 2.02753911 0.91154706 116.169434 52.227799
    Oben rechts KachelX + 1 107833 KachelY 43160 2.02758704 0.91154706 116.172180 52.227799
    Unten links KachelX 107832 KachelY + 1 43161 2.02753911 0.91151770 116.169434 52.226117
    Unten rechts KachelX + 1 107833 KachelY + 1 43161 2.02758704 0.91151770 116.172180 52.226117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91154706-0.91151770) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dl = 187.052559999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91154706-0.91151770) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dr = 187.052559999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02753911-2.02758704) × cos(0.91154706) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.612523605852758 × 6371000     		do = 187.041451704499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02753911-2.02758704) × cos(0.91151770) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.612546813268165 × 6371000     		du = 187.048538367979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91154706)-sin(0.91151770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612523605852758-0.612546813268165)×R²
    abs(2.02758704-2.02753911)×2.32074154070672e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.32074154070672e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.32074154070672e-05×40589641000000     		ar = 34987.245159197m²