Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107832 / 41703
↖ ↑ ↗
← N 54.611846°
E116.169434°		 ← 176.84 m → N 54.611846°
E116.172180°		 →
↑
176.92 m
↓
↑
176.92 m
↓
N 54.610255°
E116.169434°		 ← 176.85 m →
31 287 m²		 N 54.610255°
E116.172180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822696685791016 y=0.318172454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822696685791016 × 217)
    floor (0.822696685791016 × 131072)
    floor (107832.5)     		tx = 107832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318172454833984 × 217)
    floor (0.318172454833984 × 131072)
    floor (41703.5)     		ty = 41703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107832 / 41703 ti = "17/107832/41703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107832/41703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107832 ÷ 217
    107832 ÷ 131072     		x = 0.82269287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41703 ÷ 217
    41703 ÷ 131072     		y = 0.318168640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82269287109375 × 2 - 1) × π
    0.6453857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02753911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318168640136719 × 2 - 1) × π
    0.363662719726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.1424801286448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02753911} λ = 2.02753911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1424801286448))-π/2
    2×atan(3.1345327773649)-π/2
    2×1.26197642148248-π/2
    2.52395284296497-1.57079632675     		φ = 0.95315652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02753911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.169434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95315652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.611846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107832 KachelY 41703 2.02753911 0.95315652 116.169434 54.611846
    Oben rechts KachelX + 1 107833 KachelY 41703 2.02758704 0.95315652 116.172180 54.611846
    Unten links KachelX 107832 KachelY + 1 41704 2.02753911 0.95312875 116.169434 54.610255
    Unten rechts KachelX + 1 107833 KachelY + 1 41704 2.02758704 0.95312875 116.172180 54.610255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95315652-0.95312875) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dl = 176.922669999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95315652-0.95312875) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dr = 176.922669999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02753911-2.02758704) × cos(0.95315652) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.579112633586613 × 6371000     		do = 176.839009389124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02753911-2.02758704) × cos(0.95312875) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.579135272787602 × 6371000     		du = 176.845922541496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95315652)-sin(0.95312875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579112633586613-0.579135272787602)×R²
    abs(2.02758704-2.02753911)×2.26392009895493e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.26392009895493e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.26392009895493e-05×40589641000000     		ar = 31287.4412500637m²