Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107829 / 41744
↖ ↑ ↗
← N 54.546580°
E116.161194°		 ← 177.12 m → N 54.546580°
E116.163940°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
N 54.544986°
E116.161194°		 ← 177.13 m →
31 383 m²		 N 54.544986°
E116.163940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822673797607422 y=0.318485260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822673797607422 × 217)
    floor (0.822673797607422 × 131072)
    floor (107829.5)     		tx = 107829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318485260009766 × 217)
    floor (0.318485260009766 × 131072)
    floor (41744.5)     		ty = 41744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107829 / 41744 ti = "17/107829/41744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107829/41744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107829 ÷ 217
    107829 ÷ 131072     		x = 0.822669982910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41744 ÷ 217
    41744 ÷ 131072     		y = 0.3184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822669982910156 × 2 - 1) × π
    0.645339965820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.02739530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3184814453125 × 2 - 1) × π
    0.363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14051471576038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02739530} λ = 2.02739530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14051471576038))-π/2
    2×atan(3.12837817640482)-π/2
    2×1.26140686771106-π/2
    2.52281373542212-1.57079632675     		φ = 0.95201741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02739530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.161194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95201741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.546580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107829 KachelY 41744 2.02739530 0.95201741 116.161194 54.546580
    Oben rechts KachelX + 1 107830 KachelY 41744 2.02744323 0.95201741 116.163940 54.546580
    Unten links KachelX 107829 KachelY + 1 41745 2.02739530 0.95198960 116.161194 54.544986
    Unten rechts KachelX + 1 107830 KachelY + 1 41745 2.02744323 0.95198960 116.163940 54.544986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95201741-0.95198960) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dl = 177.177509999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95201741-0.95198960) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dr = 177.177509999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02739530-2.02744323) × cos(0.95201741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580040914295352 × 6371000     		do = 177.122471072393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02739530-2.02744323) × cos(0.95198960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580063567745029 × 6371000     		du = 177.129388575773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95201741)-sin(0.95198960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580040914295352-0.580063567745029)×R²
    abs(2.02744323-2.02739530)×2.26534496773345e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26534496773345e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26534496773345e-05×40589641000000     		ar = 31382.7312047596m²