Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107826 / 41738
↖ ↑ ↗
← N 54.556137°
E116.152954°		 ← 177.12 m → N 54.556137°
E116.155701°		 →
↑
177.11 m
↓
↑
177.11 m
↓
N 54.554544°
E116.152954°		 ← 177.12 m →
31 371 m²		 N 54.554544°
E116.155701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822650909423828 y=0.318439483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822650909423828 × 217)
    floor (0.822650909423828 × 131072)
    floor (107826.5)     		tx = 107826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318439483642578 × 217)
    floor (0.318439483642578 × 131072)
    floor (41738.5)     		ty = 41738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107826 / 41738 ti = "17/107826/41738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107826/41738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107826 ÷ 217
    107826 ÷ 131072     		x = 0.822647094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41738 ÷ 217
    41738 ÷ 131072     		y = 0.318435668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822647094726562 × 2 - 1) × π
    0.645294189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02725148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318435668945312 × 2 - 1) × π
    0.363128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1408023371581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02725148} λ = 2.02725148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1408023371581))-π/2
    2×atan(3.12927809432014)-π/2
    2×1.26149027402896-π/2
    2.52298054805792-1.57079632675     		φ = 0.95218422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02725148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.152954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95218422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.556137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107826 KachelY 41738 2.02725148 0.95218422 116.152954 54.556137
    Oben rechts KachelX + 1 107827 KachelY 41738 2.02729942 0.95218422 116.155701 54.556137
    Unten links KachelX 107826 KachelY + 1 41739 2.02725148 0.95215642 116.152954 54.554544
    Unten rechts KachelX + 1 107827 KachelY + 1 41739 2.02729942 0.95215642 116.155701 54.554544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95218422-0.95215642) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dl = 177.113800000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95218422-0.95215642) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dr = 177.113800000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02725148-2.02729942) × cos(0.95218422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579905024911477 × 6371000     		do = 177.11792136319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02725148-2.02729942) × cos(0.95215642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579927672905013 × 6371000     		du = 177.124838643376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95218422)-sin(0.95215642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579905024911477-0.579927672905013)×R²
    abs(2.02729942-2.02725148)×2.26479935367951e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26479935367951e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26479935367951e-05×40589641000000     		ar = 31370.6406756956m²