Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107819 / 41750
↖ ↑ ↗
← N 54.537020°
E116.133728°		 ← 177.16 m → N 54.537020°
E116.136474°		 →
↑
177.24 m
↓
↑
177.24 m
↓
N 54.535426°
E116.133728°		 ← 177.17 m →
31 401 m²		 N 54.535426°
E116.136474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822597503662109 y=0.318531036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822597503662109 × 217)
    floor (0.822597503662109 × 131072)
    floor (107819.5)     		tx = 107819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318531036376953 × 217)
    floor (0.318531036376953 × 131072)
    floor (41750.5)     		ty = 41750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107819 / 41750 ti = "17/107819/41750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107819/41750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107819 ÷ 217
    107819 ÷ 131072     		x = 0.822593688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41750 ÷ 217
    41750 ÷ 131072     		y = 0.318527221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822593688964844 × 2 - 1) × π
    0.645187377929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.02691593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318527221679688 × 2 - 1) × π
    0.362945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14022709436266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02691593} λ = 2.02691593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14022709436266))-π/2
    2×atan(3.12747851728794)-π/2
    2×1.26132344184938-π/2
    2.52264688369876-1.57079632675     		φ = 0.95185056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02691593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.133728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95185056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.537020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107819 KachelY 41750 2.02691593 0.95185056 116.133728 54.537020
    Oben rechts KachelX + 1 107820 KachelY 41750 2.02696386 0.95185056 116.136474 54.537020
    Unten links KachelX 107819 KachelY + 1 41751 2.02691593 0.95182274 116.133728 54.535426
    Unten rechts KachelX + 1 107820 KachelY + 1 41751 2.02696386 0.95182274 116.136474 54.535426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95185056-0.95182274) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dl = 177.241220000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95185056-0.95182274) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dr = 177.241220000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02691593-2.02696386) × cos(0.95185056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580176820118876 × 6371000     		do = 177.163971550553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02691593-2.02696386) × cos(0.95182274) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580199479021483 × 6371000     		du = 177.170890719051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95185056)-sin(0.95182274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580176820118876-0.580199479021483)×R²
    abs(2.02696386-2.02691593)×2.26589026066648e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26589026066648e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26589026066648e-05×40589641000000     		ar = 31401.3716406738m²