Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107817 / 46442
↖ ↑ ↗
← N 46.358302°
E116.128235°		 ← 210.79 m → N 46.358302°
E116.130981°		 →
↑
210.82 m
↓
↑
210.82 m
↓
N 46.356406°
E116.128235°		 ← 210.80 m →
44 438 m²		 N 46.356406°
E116.130981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822582244873047 y=0.354328155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822582244873047 × 217)
    floor (0.822582244873047 × 131072)
    floor (107817.5)     		tx = 107817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354328155517578 × 217)
    floor (0.354328155517578 × 131072)
    floor (46442.5)     		ty = 46442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107817 / 46442 ti = "17/107817/46442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107817/46442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107817 ÷ 217
    107817 ÷ 131072     		x = 0.822578430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46442 ÷ 217
    46442 ÷ 131072     		y = 0.354324340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822578430175781 × 2 - 1) × π
    0.645156860351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02682005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354324340820312 × 2 - 1) × π
    0.291351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.915307161345352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02682005} λ = 2.02682005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.915307161345352))-π/2
    2×atan(2.49754228254536)-π/2
    2×1.18995066664599-π/2
    2.37990133329198-1.57079632675     		φ = 0.80910501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02682005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.128235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80910501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.358302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107817 KachelY 46442 2.02682005 0.80910501 116.128235 46.358302
    Oben rechts KachelX + 1 107818 KachelY 46442 2.02686799 0.80910501 116.130981 46.358302
    Unten links KachelX 107817 KachelY + 1 46443 2.02682005 0.80907192 116.128235 46.356406
    Unten rechts KachelX + 1 107818 KachelY + 1 46443 2.02686799 0.80907192 116.130981 46.356406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80910501-0.80907192) × R
    3.30899999999579e-05 × 6371000     		dl = 210.816389999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80910501-0.80907192) × R
    3.30899999999579e-05 × 6371000     		dr = 210.816389999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02682005-2.02686799) × cos(0.80910501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690146386496845 × 6371000     		do = 210.788470803987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02682005-2.02686799) × cos(0.80907192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69017033235236 × 6371000     		du = 210.795784484627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80910501)-sin(0.80907192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690146386496845-0.69017033235236)×R²
    abs(2.02686799-2.02682005)×2.39458555151284e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39458555151284e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39458555151284e-05×40589641000000     		ar = 44438.4353944267m²