Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107817 / 43053
↖ ↑ ↗
← N 52.407446°
E116.128235°		 ← 186.32 m → N 52.407446°
E116.130981°		 →
↑
186.29 m
↓
↑
186.29 m
↓
N 52.405770°
E116.128235°		 ← 186.33 m →
34 710 m²		 N 52.405770°
E116.130981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822582244873047 y=0.328472137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822582244873047 × 217)
    floor (0.822582244873047 × 131072)
    floor (107817.5)     		tx = 107817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328472137451172 × 217)
    floor (0.328472137451172 × 131072)
    floor (43053.5)     		ty = 43053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107817 / 43053 ti = "17/107817/43053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107817/43053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107817 ÷ 217
    107817 ÷ 131072     		x = 0.822578430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43053 ÷ 217
    43053 ÷ 131072     		y = 0.328468322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822578430175781 × 2 - 1) × π
    0.645156860351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02682005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328468322753906 × 2 - 1) × π
    0.343063354492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.07776531415772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02682005} λ = 2.02682005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07776531415772))-π/2
    2×atan(2.93810646448987)-π/2
    2×1.24273940386481-π/2
    2.48547880772963-1.57079632675     		φ = 0.91468248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02682005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.128235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91468248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.407446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107817 KachelY 43053 2.02682005 0.91468248 116.128235 52.407446
    Oben rechts KachelX + 1 107818 KachelY 43053 2.02686799 0.91468248 116.130981 52.407446
    Unten links KachelX 107817 KachelY + 1 43054 2.02682005 0.91465324 116.128235 52.405770
    Unten rechts KachelX + 1 107818 KachelY + 1 43054 2.02686799 0.91465324 116.130981 52.405770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91468248-0.91465324) × R
    2.92399999999304e-05 × 6371000     		dl = 186.288039999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91468248-0.91465324) × R
    2.92399999999304e-05 × 6371000     		dr = 186.288039999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02682005-2.02686799) × cos(0.91468248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610042199161583 × 6371000     		do = 186.322590110032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02682005-2.02686799) × cos(0.91465324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610065367768197 × 6371000     		du = 186.329666398851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91468248)-sin(0.91465324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610042199161583-0.610065367768197)×R²
    abs(2.02686799-2.02682005)×2.3168606613222e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3168606613222e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3168606613222e-05×40589641000000     		ar = 34710.3292357636m²