Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107815 / 41749
↖ ↑ ↗
← N 54.538613°
E116.122742°		 ← 177.19 m → N 54.538613°
E116.125489°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
N 54.537020°
E116.122742°		 ← 177.20 m →
31 395 m²		 N 54.537020°
E116.125489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822566986083984 y=0.318523406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822566986083984 × 217)
    floor (0.822566986083984 × 131072)
    floor (107815.5)     		tx = 107815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318523406982422 × 217)
    floor (0.318523406982422 × 131072)
    floor (41749.5)     		ty = 41749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107815 / 41749 ti = "17/107815/41749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107815/41749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107815 ÷ 217
    107815 ÷ 131072     		x = 0.822563171386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41749 ÷ 217
    41749 ÷ 131072     		y = 0.318519592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822563171386719 × 2 - 1) × π
    0.645126342773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.02672418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318519592285156 × 2 - 1) × π
    0.362960815429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.14027503126228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02672418} λ = 2.02672418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14027503126228))-π/2
    2×atan(3.12762844250513)-π/2
    2×1.26133734751696-π/2
    2.52267469503393-1.57079632675     		φ = 0.95187837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02672418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.122742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95187837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.538613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107815 KachelY 41749 2.02672418 0.95187837 116.122742 54.538613
    Oben rechts KachelX + 1 107816 KachelY 41749 2.02677212 0.95187837 116.125489 54.538613
    Unten links KachelX 107815 KachelY + 1 41750 2.02672418 0.95185056 116.122742 54.537020
    Unten rechts KachelX + 1 107816 KachelY + 1 41750 2.02677212 0.95185056 116.125489 54.537020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95187837-0.95185056) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dl = 177.177509999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95187837-0.95185056) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dr = 177.177509999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02672418-2.02677212) × cos(0.95187837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580154168912307 × 6371000     		do = 177.19401635401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02672418-2.02677212) × cos(0.95185056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580176820118876 × 6371000     		du = 177.200934615538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95187837)-sin(0.95185056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580154168912307-0.580176820118876)×R²
    abs(2.02677212-2.02672418)×2.26512065689688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26512065689688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26512065689688e-05×40589641000000     		ar = 31395.4074867746m²