Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107814 / 46441
↖ ↑ ↗
← N 46.360198°
E116.119995°		 ← 210.78 m → N 46.360198°
E116.122742°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
N 46.358302°
E116.119995°		 ← 210.79 m →
44 423 m²		 N 46.358302°
E116.122742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822559356689453 y=0.354320526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822559356689453 × 217)
    floor (0.822559356689453 × 131072)
    floor (107814.5)     		tx = 107814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354320526123047 × 217)
    floor (0.354320526123047 × 131072)
    floor (46441.5)     		ty = 46441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107814 / 46441 ti = "17/107814/46441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107814/46441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107814 ÷ 217
    107814 ÷ 131072     		x = 0.822555541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46441 ÷ 217
    46441 ÷ 131072     		y = 0.354316711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822555541992188 × 2 - 1) × π
    0.645111083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02667624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354316711425781 × 2 - 1) × π
    0.291366577148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.915355098244972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02667624} λ = 2.02667624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.915355098244972))-π/2
    2×atan(2.49766200984871)-π/2
    2×1.18996720809816-π/2
    2.37993441619631-1.57079632675     		φ = 0.80913809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02667624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.119995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80913809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.360198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107814 KachelY 46441 2.02667624 0.80913809 116.119995 46.360198
    Oben rechts KachelX + 1 107815 KachelY 46441 2.02672418 0.80913809 116.122742 46.360198
    Unten links KachelX 107814 KachelY + 1 46442 2.02667624 0.80910501 116.119995 46.358302
    Unten rechts KachelX + 1 107815 KachelY + 1 46442 2.02672418 0.80910501 116.122742 46.358302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80913809-0.80910501) × R
    3.30800000000187e-05 × 6371000     		dl = 210.752680000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80913809-0.80910501) × R
    3.30800000000187e-05 × 6371000     		dr = 210.752680000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02667624-2.02672418) × cos(0.80913809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690122447122582 × 6371000     		do = 210.781159102887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02667624-2.02672418) × cos(0.80910501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690146386496845 × 6371000     		du = 210.788470803987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80913809)-sin(0.80910501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690122447122582-0.690146386496845)×R²
    abs(2.02672418-2.02667624)×2.39393742633709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39393742633709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39393742633709e-05×40589641000000     		ar = 44423.4646587492m²