Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107812 / 100204
↖ ↑ ↗
← S 68.508118°
E116.114502°		 ← 111.90 m → S 68.508118°
E116.117249°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
S 68.509125°
E116.114502°		 ← 111.89 m →
12 525 m²		 S 68.509125°
E116.117249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822544097900391 y=0.764499664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822544097900391 × 217)
    floor (0.822544097900391 × 131072)
    floor (107812.5)     		tx = 107812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764499664306641 × 217)
    floor (0.764499664306641 × 131072)
    floor (100204.5)     		ty = 100204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107812 / 100204 ti = "17/107812/100204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107812/100204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107812 ÷ 217
    107812 ÷ 131072     		x = 0.822540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100204 ÷ 217
    100204 ÷ 131072     		y = 0.764495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822540283203125 × 2 - 1) × π
    0.64508056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02658037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.52899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66187643602811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02658037} λ = 2.02658037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66187643602811))-π/2
    2×atan(0.189782531000467)-π/2
    2×0.187552046244091-π/2
    0.375104092488181-1.57079632675     		φ = -1.19569223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02658037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.114502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19569223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.508118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107812 KachelY 100204 2.02658037 -1.19569223 116.114502 -68.508118
    Oben rechts KachelX + 1 107813 KachelY 100204 2.02662831 -1.19569223 116.117249 -68.508118
    Unten links KachelX 107812 KachelY + 1 100205 2.02658037 -1.19570980 116.114502 -68.509125
    Unten rechts KachelX + 1 107813 KachelY + 1 100205 2.02662831 -1.19570980 116.117249 -68.509125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19569223--1.19570980) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19569223--1.19570980) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02658037-2.02662831) × cos(-1.19569223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36636938996245 × 6371000     		do = 111.898642042556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02658037-2.02662831) × cos(-1.19570980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366353041556978 × 6371000     		du = 111.893648818717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19569223)-sin(-1.19570980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36636938996245-0.366353041556978)×R²
    abs(2.02662831-2.02658037)×1.63484054722107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63484054722107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63484054722107e-05×40589641000000     		ar = 12525.4833188103m²