Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107806 / 41740
↖ ↑ ↗
← N 54.552951°
E116.098023°		 ← 177.09 m → N 54.552951°
E116.100769°		 →
↑
177.11 m
↓
↑
177.11 m
↓
N 54.551359°
E116.098023°		 ← 177.10 m →
31 367 m²		 N 54.551359°
E116.100769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822498321533203 y=0.318454742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822498321533203 × 217)
    floor (0.822498321533203 × 131072)
    floor (107806.5)     		tx = 107806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318454742431641 × 217)
    floor (0.318454742431641 × 131072)
    floor (41740.5)     		ty = 41740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107806 / 41740 ti = "17/107806/41740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107806/41740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107806 ÷ 217
    107806 ÷ 131072     		x = 0.822494506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41740 ÷ 217
    41740 ÷ 131072     		y = 0.318450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822494506835938 × 2 - 1) × π
    0.644989013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02629275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318450927734375 × 2 - 1) × π
    0.36309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14070646335886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02629275} λ = 2.02629275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14070646335886))-π/2
    2×atan(3.12897809292173)-π/2
    2×1.26146247409439-π/2
    2.52292494818877-1.57079632675     		φ = 0.95212862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02629275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.098023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95212862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.552951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107806 KachelY 41740 2.02629275 0.95212862 116.098023 54.552951
    Oben rechts KachelX + 1 107807 KachelY 41740 2.02634068 0.95212862 116.100769 54.552951
    Unten links KachelX 107806 KachelY + 1 41741 2.02629275 0.95210082 116.098023 54.551359
    Unten rechts KachelX + 1 107807 KachelY + 1 41741 2.02634068 0.95210082 116.100769 54.551359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95212862-0.95210082) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dl = 177.113800000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95212862-0.95210082) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dr = 177.113800000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02629275-2.02634068) × cos(0.95212862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579950320450359 × 6371000     		do = 177.094807151981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02629275-2.02634068) × cos(0.95210082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579972967547496 × 6371000     		du = 177.101722715536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95212862)-sin(0.95210082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579950320450359-0.579972967547496)×R²
    abs(2.02634068-2.02629275)×2.26470971367299e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26470971367299e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26470971367299e-05×40589641000000     		ar = 31366.5466778911m²