Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107806 / 100198
↖ ↑ ↗
← S 68.502080°
E116.098023°		 ← 111.91 m → S 68.502080°
E116.100769°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
S 68.503087°
E116.098023°		 ← 111.90 m →
12 526 m²		 S 68.503087°
E116.100769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822498321533203 y=0.764453887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822498321533203 × 217)
    floor (0.822498321533203 × 131072)
    floor (107806.5)     		tx = 107806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764453887939453 × 217)
    floor (0.764453887939453 × 131072)
    floor (100198.5)     		ty = 100198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107806 / 100198 ti = "17/107806/100198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107806/100198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107806 ÷ 217
    107806 ÷ 131072     		x = 0.822494506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100198 ÷ 217
    100198 ÷ 131072     		y = 0.764450073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822494506835938 × 2 - 1) × π
    0.644989013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02629275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764450073242188 × 2 - 1) × π
    -0.528900146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66158881463039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02629275} λ = 2.02629275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66158881463039))-π/2
    2×atan(0.18983712436803)-π/2
    2×0.187604741132294-π/2
    0.375209482264588-1.57079632675     		φ = -1.19558684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02629275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.098023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19558684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.502080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107806 KachelY 100198 2.02629275 -1.19558684 116.098023 -68.502080
    Oben rechts KachelX + 1 107807 KachelY 100198 2.02634068 -1.19558684 116.100769 -68.502080
    Unten links KachelX 107806 KachelY + 1 100199 2.02629275 -1.19560441 116.098023 -68.503087
    Unten rechts KachelX + 1 107807 KachelY + 1 100199 2.02634068 -1.19560441 116.100769 -68.503087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19558684--1.19560441) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19558684--1.19560441) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02629275-2.02634068) × cos(-1.19558684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36646745010708 × 6371000     		do = 111.90524449369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02629275-2.02634068) × cos(-1.19560441) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36645110238009 × 6371000     		du = 111.900252518591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19558684)-sin(-1.19560441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36646745010708-0.36645110238009)×R²
    abs(2.02634068-2.02629275)×1.63477269895518e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63477269895518e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63477269895518e-05×40589641000000     		ar = 12526.2224569634m²