Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107805 / 100199
↖ ↑ ↗
← S 68.503087°
E116.095276°		 ← 111.92 m → S 68.503087°
E116.098023°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
S 68.504093°
E116.095276°		 ← 111.92 m →
12 528 m²		 S 68.504093°
E116.098023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822490692138672 y=0.764461517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822490692138672 × 217)
    floor (0.822490692138672 × 131072)
    floor (107805.5)     		tx = 107805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764461517333984 × 217)
    floor (0.764461517333984 × 131072)
    floor (100199.5)     		ty = 100199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107805 / 100199 ti = "17/107805/100199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107805/100199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107805 ÷ 217
    107805 ÷ 131072     		x = 0.822486877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100199 ÷ 217
    100199 ÷ 131072     		y = 0.764457702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822486877441406 × 2 - 1) × π
    0.644973754882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.02624481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764457702636719 × 2 - 1) × π
    -0.528915405273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.66163675153001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02624481} λ = 2.02624481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66163675153001))-π/2
    2×atan(0.189828024382969)-π/2
    2×0.187595957671592-π/2
    0.375191915343184-1.57079632675     		φ = -1.19560441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02624481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.095276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19560441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.503087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107805 KachelY 100199 2.02624481 -1.19560441 116.095276 -68.503087
    Oben rechts KachelX + 1 107806 KachelY 100199 2.02629275 -1.19560441 116.098023 -68.503087
    Unten links KachelX 107805 KachelY + 1 100200 2.02624481 -1.19562198 116.095276 -68.504093
    Unten rechts KachelX + 1 107806 KachelY + 1 100200 2.02629275 -1.19562198 116.098023 -68.504093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19560441--1.19562198) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19560441--1.19562198) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02624481-2.02629275) × cos(-1.19560441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36645110238009 × 6371000     		do = 111.923599118181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02624481-2.02629275) × cos(-1.19562198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366434754539976 × 6371000     		du = 111.918606067017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19560441)-sin(-1.19562198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36645110238009-0.366434754539976)×R²
    abs(2.02629275-2.02624481)×1.63478401147832e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63478401147832e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63478401147832e-05×40589641000000     		ar = 12528.2769852894m²