Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107804 / 41745
↖ ↑ ↗
← N 54.544986°
E116.092529°		 ← 177.17 m → N 54.544986°
E116.095276°		 →
↑
177.11 m
↓
↑
177.11 m
↓
N 54.543393°
E116.092529°		 ← 177.17 m →
31 379 m²		 N 54.543393°
E116.095276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822483062744141 y=0.318492889404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822483062744141 × 217)
    floor (0.822483062744141 × 131072)
    floor (107804.5)     		tx = 107804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318492889404297 × 217)
    floor (0.318492889404297 × 131072)
    floor (41745.5)     		ty = 41745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107804 / 41745 ti = "17/107804/41745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107804/41745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107804 ÷ 217
    107804 ÷ 131072     		x = 0.822479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41745 ÷ 217
    41745 ÷ 131072     		y = 0.318489074707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822479248046875 × 2 - 1) × π
    0.64495849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02619687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318489074707031 × 2 - 1) × π
    0.363021850585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.14046677886076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02619687} λ = 2.02619687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14046677886076))-π/2
    2×atan(3.12822821524857)-π/2
    2×1.26139296475805-π/2
    2.5227859295161-1.57079632675     		φ = 0.95198960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02619687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.092529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95198960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.544986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107804 KachelY 41745 2.02619687 0.95198960 116.092529 54.544986
    Oben rechts KachelX + 1 107805 KachelY 41745 2.02624481 0.95198960 116.095276 54.544986
    Unten links KachelX 107804 KachelY + 1 41746 2.02619687 0.95196180 116.092529 54.543393
    Unten rechts KachelX + 1 107805 KachelY + 1 41746 2.02624481 0.95196180 116.095276 54.543393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95198960-0.95196180) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dl = 177.113800000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95198960-0.95196180) × R
    2.78000000000223e-05 × 6371000     		dr = 177.113800000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02619687-2.02624481) × cos(0.95198960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580063567745029 × 6371000     		do = 177.166344425449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02619687-2.02624481) × cos(0.95196180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580086212600536 × 6371000     		du = 177.1732607472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95198960)-sin(0.95196180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580063567745029-0.580086212600536)×R²
    abs(2.02624481-2.02619687)×2.26448555076253e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26448555076253e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26448555076253e-05×40589641000000     		ar = 31379.216983228m²